[SolidSoft 0]

Здравствуйте, только начал изучать ЦОС. Мне нужно в соответствии с теоремой Котельникова определить частоту дискретизации для непрерывного сигнала f(t) = 2sin(2pi*10t) + sin(2pi*30t). Не могу понять как это сделать, можете объяснить подробно?

[Herz 5]

Подробно описано в учебнике по ЦОС. А кратко - в самой теореме Котельникова. Получать образование на Форумах - не лучшая идея.

Чтобы найти минимальную частоту дискретизации в Вашем случае выразите циклическую частоту ω = 2πν в герцах. Чтобы было привычнее.

Но можно этого и не делать. Рекомендую потренироваться на примерах из МАТЛАБа. Там как раз такая форма используется.

[kovigor 5]

Удалил ...

[SVNKz 1]

Доказательство теоремы Котельникова в учебнике дано для случая восстановления отсчётов амплитуды одиночной синусоиды посредством суммирования переходных процессов идеального фильтра низкой частоты. Но принципиально важно понять, что взятие выборки суммарного сигнала, которая является нелинейной операцией по крайней мере для двух синусоид, как показано в сообщении ТС, неизбежно создаст интермодуляционные гармоники, которые будут искажать форму выходного сигнала. Именно для этого случая следует грамотно задать область применения этой теоремы. Отсюда следует, что нет смысла рассчитывать точность восстановления исходного сигнала, спектр которого на выходе идеального фильтра низкой частоты будет иметь весь набор интермодуляционных гармоник, которые будут отсутствовать только для одиночной синусоиды.    

[Herz 5]

Интермодуляционные гармоники в данном случае - лишняя сущность. Для адекватной оцифровки сложного сигнала, состоящего, как у автора, из суммы двух синусоид, достаточно частоты дискредетизации, вдвое превышающей наибольшую частоту из слагаемых.

[SSerge 4]

8 часов назад, SVNKz сказал:

Доказательство теоремы Котельникова в учебнике дано для случая восстановления отсчётов амплитуды одиночной синусоиды

 

6 часов назад, Herz сказал:

достаточно частоты дискредетизации, вдвое превышающей наибольшую частоту из слагаемых.

А сам Котельников в своей статье доказывает что достаточно удвоенной ширины полосы сигнала.

В случае ТС частота оцифровки должно быть не менее (30-10)*2 = 40 Гц.

PS. С поправкой на неидеальность реального мира (и полосового фильтра на входе) лучше выбирать частоту дискретизации не точно в 2, а по крайней мере в 2.5 раза больше полосы.

[SVNKz 1]

14 часов назад, Herz сказал:

Рекомендую потренироваться на примерах из МАТЛАБа.

Для МАТЛАБ показанный ТС пример уже состоит из множества гармоник. Для доказательства достаточно посмотреть на тригонометрическую формулу суммы синусов.

https://exceltut.ru/trigonometricheskie-formuly-slozheniya-primery-slozheniya-trigonometricheskih-funktsij/

В действительности ЭМВ в вакууме распространяются не как простая сумма двух синусоид, а независимо и поэтому интермодуляционные гармоники отсутствуют. Необходимо задать область применения теоремы и процедуры восстановления исходного сигнала, а ТС имеет полное право потребовать уточнения условий задания...    

3 минуты назад, SSerge сказал:

С поправкой на неидеальность реального мира (и полосового фильтра на входе) лучше выбирать частоту дискретизации не точно в 2, а по крайней мере в 2.5 раза больше полосы.

"Поправкой на неидеальность" будет отдельная дискретизация обоих синусоид и их восстановление с помощью суммирования выходных сигналов идеальными ФНЧ - только в таком варианте будет математически точно восстановлен исходный сигнал.

[my504 2]

1 hour ago, SVNKz said:

"Поправкой на неидеальность" будет отдельная дискретизация обоих синусоид и их восстановление с помощью суммирования выходных сигналов идеальными ФНЧ - только в таком варианте будет математически точно восстановлен исходный сигнал.

Что же все-таки мешает выбрать частоту дискретизации выше удвоенной для верхней частоты таким образом, чтобы РЕАЛЬНЫЙ ФНЧ на выходе обеспечил наперед заданный уровень подавления зеркальных гармоник?

В чем смысл "отдельной дискретизации"? 

И кто тут говорил про "математическую точность"? Что вообще означает эта самая "точность" для разложения сигнала в мат. ряды?

[MrGalaxy 9]

2 часа назад, SVNKz сказал:

ЭМВ в вакууме распространяются не как простая сумма двух синусоид, а независимо и поэтому интермодуляционные гармоники отсутствуют. Необходимо задать область применения теоремы и процедуры восстановления исходного сигнала, а ТС имеет полное право потребовать уточнения условий задания...    

"Поправкой на неидеальность" будет отдельная дискретизация обоих синусоид и их восстановление с помощью суммирования выходных сигналов идеальными ФНЧ - только в таком варианте будет математически точно восстановлен исходный сигнал.

Если сами не разбираетесь в вопросе, не стоит давать такие «советы» начинающим.

[my504 2]

2 hours ago, SVNKz said:

В действительности ЭМВ в вакууме распространяются не как простая сумма двух синусоид, а независимо и поэтому интермодуляционные гармоники отсутствуют.

Кстати, да, поддержу предыдущий комментарий.

Милостивый государь, гармоническое разложение сигналов - это математический метод, а не реальное существование отдельных гармоник. И потому "в вакууме" распространяется ЦЕЛОСТНЫЙ СИГНАЛ, а не две независимые синусоиды. О чем нам кагбэ намекаэ простая мысль о бесконечном и непрерывном спектре РЕАЛЬНЫХ сигналов. Ибо они имеют свое начало и, не побоюсь этого слова, свой конец... Увы, в этом мире нет ничего вечного... 

[тау 29]

5 часов назад, SVNKz сказал:

Для МАТЛАБ показанный ТС пример уже состоит из множества гармоник.

Нету там никакого множества гармоник. Произведение синуса на косинус из правой части выражения по вашей ссылке не порождает это самое Ваше "множество гармоник" и эквивалентно сумме двух исходных синусов с разными частотами.  Нету никаких там "гармоник", кроме исключительно тех частот в синусах , которые в левой части (для их суммы).

 

5 часов назад, SVNKz сказал:

"Поправкой на неидеальность" будет отдельная дискретизация обоих синусоид и их восстановление с помощью суммирования выходных сигналов идеальными ФНЧ

что отдельно , что вместе дискретизировать  - разницы нету никакой. "Дискретизация" суммы  синусов  есть произведение этой суммы на гребёнку Дирака, что полностью эквивалентно произведению каждого из синусов на эту же гребёнку и сложение полученного уже в отсчетах. Без разницы в результате.  Не запутывайте простой вопрос.

[Leka 0]

7 hours ago, SSerge said:

частота оцифровки должно быть не менее (30-10)*2 = 40 Гц.

Это неверно, нарушено дополнительное требование - полоса сигнала не должна пересекать границы зон. А тут пересекает границу (20 Гц). 

[Arlleex 145]

Недавно же вроде были уже обсуждения дискретизации.
Частоты в 2 раза выше полосы не хватит. Нужно строго больше удвоенной полосы, хоть 40.001Гц.

[Michael Michael 0]

57 минут назад, Arlleex сказал:

Недавно же вроде были уже обсуждения дискретизации.
Частоты в 2 раза выше полосы не хватит. Нужно строго больше удвоенной полосы, хоть 40.001Гц.

Да. Но вот цитата из статьи Котельникова, ссылка на которую давалась выше:

Теорема II. Любую функцию F (t), состоящую из частот от 0 до f1, можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через 1/(2f1) секунд.

На мой взгляд, здесь как-то явно не видно, что частоты 0 и f1 не входят в "любую функцию F(t)" и приходится догадываться...)
 

[тау 29]

1 час назад, Arlleex сказал:

Частоты в 2 раза выше полосы не хватит. Нужно строго больше удвоенной полосы, хоть 40.001Гц.

Хватит и меньшей.

Потому что у ТС не полосовой сигнал, а заданы конкретные две частоты 10 и 30 Гц, условно нулевой ширины полосы каждая. Эти сигналы надо  оцифровать и восстановить (когда нибудь потом, может быть).

Поэтому подходит любая, и как угодно низкая частота субдискретизации, главное условие для которой - чтобы получаемые частоты  внутри каждой зоны Найквиста не пересекались, не попадали на границу зоны и могли быть расфильтрованы ( практическую реализацию не обсуждаем - задачка чисто теоретическая) .

Например, подойдет частота дискретизации 0,66 Гц. Для восстановления исходных сигналов просто пропускаем через уууузкие полосовые фильтры с центральными частотами 10 Гц (из 31-й зоны Найквиста)  и 30 Гц (из 91-й зоны Найквиста).