Можно прикинуть ошибку измерения, при условии что:
Пусть измеренные значения гармонического сигнала \(S(t)=A\cdot\sin(\omega t+\varphi)\) в точках \(t_1,t_2,t_3\) равны:
\(\\
S_1'=S_1+\delta_1, \\
S_2'=S_2+\delta_2, \\
S_3'=S_3+\delta_3,
\)
где:
\(S_1,S_2,S_3\) - точные значения сигнала, а \(\delta_1,\delta_2,\delta_3\) - включают в себя шумы, нелинейные искажения и погрешности измерительного прибора.
Тогда измеренная по трем точкам частота сигнала равна:
\(F+\delta F = \frac{1}{2\pi\cdot\Delta t}\cdot\arccos\big[\frac{S_1+\delta_1+S_3+\delta_3}{2S_2+2\delta_2}\big]\)
где: \(\Delta t=t_3-t_2=t_2-t_1\)
Выберем момент времени \(t_2\) таким, что:
\(|\delta_1|<< |S_2|,|\delta_2|<< |S_2|,|\delta_3|<<|S_2|\).
Тогда находим:
\(\\
F+\delta F = \frac{1}{2\pi\cdot\Delta t}\cdot\arccos\big[\frac{S_1+\delta_1+S_3+\delta_3}{2S_2\cdot(1+\frac{\delta_2}{S_2})}\big] \approx \\
\approx \frac{1}{2\pi\cdot\Delta t}\cdot\arccos\big[\frac{S_1+\delta_1+S_3+\delta_3}{2S_2}\cdot(1-\frac{\delta_2}{S_2})\big] = \\
= \frac{1}{2\pi\cdot\Delta t}\cdot\arccos\big[(\frac{S_1+S_3}{2S_2}+\frac{\delta_1+\delta_3}{2S_2})\cdot(1-\frac{\delta_2}{S_2})\big] \approx \\
\approx \frac{1}{2\pi\cdot\Delta t}\cdot\arccos\big[\frac{S_1+S_3}{2S_2}+\frac{\delta_1+\delta_3}{2S_2} - \frac{S_1+S_3}{2S_2}\cdot\frac{\delta_2}{S_2}\big]\\
\)
Рассмотрим наихудший случай, когда все три погрешности суммируются с одинаковым знаком.
Полагая:
\(\delta_1 = \delta_3=\delta\) и \(\delta_2=-\delta\cdot sign(\frac{S_1+S_3}{S_2})\)
находим:
\(\\
F+\delta F \approx \frac{1}{2\pi\cdot\Delta t}\cdot\arccos\big[\frac{S_1+S_3}{2S_2}+\frac{\delta}{S_2} + \big|\frac{S_1+S_3}{2S_2}\big|\cdot\frac{\delta}{S_2}\big]
\)
Учитывая, что для идеального синусоидального сигнала \(\big|\frac{S_1+S_3}{2S_2}\big|\leqslant 1\),
находим для наихудшего случая:
\(\\
F+\delta F \approx \frac{1}{2\pi\cdot\Delta t}\cdot\arccos\big[\frac{S_1+S_3}{2S_2}+\frac{\delta}{S_2} + \frac{\delta}{S_2}\big] = \frac{1}{2\pi\cdot\Delta t}\cdot\arccos\big[\frac{S_1+S_3}{2S_2}+\frac{2\delta}{S_2}\big]
\)
Теперь воспользуемся разложением функции \(\arccos(x)\) в ряд Тейлора:
\(\\
F+\delta F \approx \frac{1}{2\pi\cdot\Delta t}\cdot\arccos\big[\frac{S_1+S_3}{2S_2}+\frac{2\delta}{S_2}\big] \approx \\
\approx \frac{1}{2\pi\cdot\Delta t}\cdot\arccos\big[\frac{S_1+S_3}{2S_2}\big]-\frac{1}{2\pi\cdot\Delta t}\cdot \frac{1}{\sqrt{1-\Big[\frac{S_1+S_3}{2S_2}\Big]^2}}\cdot\frac{2\delta}{S_2}
\)
Так как производная функции \(\arccos(x)\) при \(x \to \pm1\) стремится к \(-\infty\), нам нужно ограничить значения \(S_1,S_2,S_3\) используемые при вычислении частоты соотношением:
\(\big|\frac{S_1+S_3}{S_2}\big|\leqslant 1\)
Тогда для максимальной погрешности измерения находим:
\(\\
F+\delta F \approx \frac{1}{2\pi\cdot\Delta t}\cdot\arccos\big[\frac{S_1+S_3}{2S_2}\big]-\frac{1}{2\pi\cdot\Delta t}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2\delta}{S_2}
\)
Заметим, что при \(-\frac{1}{2} \leqslant x \leqslant +\frac{1}{2}\) функция \(\arccos(x)\) принимает значения в диапазоне: \(\frac{\pi}{3}\leqslant \arccos(x) \leqslant \frac{2\pi}{3}\)
Из этого неравенства мы можем найти диапазон частот, которые могут быть с приемлемой точностью измерены данным методом:
\( \frac{1}{6\Delta t} \leqslant F \leqslant \frac{1}{3\Delta t} \)
или
\( \frac{F_d}{6} \leqslant F \leqslant \frac{F_d}{3} \),
где \(F_d\) - частота дискретизации.
При этом относительная ошибка измерения частоты не превышает:
\( \frac{\delta F}{F} \leqslant \frac{12}{\pi\sqrt{3}}\cdot\frac{\delta}{S_2}\)
Теперь, учитывая что: \(100 \leqslant SNR\), находим относительную ошибку измерения частоты:
\(\frac{\delta F}{F} \leqslant \frac{12}{\pi\sqrt{3}}\cdot\frac{\delta}{S_2} = \frac{12}{\pi\sqrt{3}}\cdot 10^{-5}\),
при условии, что выбранные для измерения частоты значения \(S_1',S_2',S_3'\) удовлетворяют ограничению:
\(|S_1'+S_3'|\leqslant |S_2'|\).
