[AndreyVN 0]

Иногда задачи электростатики рассматривают в одномерном приближении, у меня в таком случае не сходятся размерности.

Уравнение Пуассона, слева вторая производная от потенциала, справа плотность rho(x) в штуках частиц на метр "проволоки" и заряд частицы q.

d2Fi/dx2=-q/epsilon0*rho(x);

Если бы плотность была штук/метр3, то слева и справа получилось бы [b/м2]=[b/м2].

 

То есть, при снижении размерности правой части, размерность левой части остается неизменной (поскольку, там сумма производных), что гарантирует описанное разногласие.

 

Как можно выкрутиться?

[Tanya 4]

Как можно выкрутиться?

Никак не нужно выкручиваться - нужно линейную плотность заряда поделить на площадь круга (вымышленного) - получится заряд, деленный на объем вымышленного цилиндра...

И переходить в цилиндрические же координаты. Для удобства.

[AndreyVN 0]

Никак не нужно выкручиваться - нужно линейную плотность заряда поделить на площадь круга (вымышленного) - получится заряд, деленный на объем вымышленного цилиндра...

И переходить в цилиндрические же координаты. Для удобства.

Пока не получилось. Слева ко второй производной потенциала прилипла зависимость fi® от которой не могу избавиться.

А в книгах тема сохранения размерности переменных при снижении пространственной размерности нигде не попадалась?

 

Немного нашел у Гринберга (на стр. 14 - вводится логарифмический потенциал для плоских задач) [Г.А.Гринберг Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений, М., 1943]

[Dmitri.Skorodumov 0]

Насколько понимаю, вопрошающий имеет в виду одномерную плоскую, а не цилиндрическую геометрию. В любом случае отсутствие зависимости величин от двух координат не означает, что смысл этих величин должен поменяться - в правой части уравнения Пуассона должна фигурировать плотность заряженных частиц в штуках на куб.метр.

 

[AndreyVN 0]

Насколько понимаю, вопрошающий имеет в виду одномерную плоскую, а не цилиндрическую геометрию. В любом случае отсутствие зависимости величин от двух координат не означает, что смысл этих величин должен поменяться - в правой части уравнения Пуассона должна фигурировать плотность заряженных частиц в штуках на куб.метр.

 

Должна. Вопрос, где взять не хватающие [L-2]. Функция плотности имеет размерность [L-1], ибо она одномерная.

Tanya предложила рассмотрть цилиндр с постоянной плотностью от радиуса, плотность от радиуса можно считать постоянной и вытаскивать за знак интеграла. В конечном счете, зависимость от радиуса должна как-то исчезнуть, но пока что-то не исчезает...

 

Можно домножить функцию плотности на две дельта-функции, имеющие размерность частиц/метр, формально, правая часть уравнения Пуассона станет [L-3].

Но не на долго, после подстановки в функцию Грина от дельта функций не остается ничего и опять не хватает [L-2].

 

Все больше склоняюсь к мысли, что в формуле для одномерной плотности нужно брать плотность "двухмерного слоя" с размерностью [L-2] и еще один [L-1] даст зависимость от координаты.

[AndreyVN 0]

Изгнать из сознания бесконечно тонкую нить!

Одномерная модель - это модель бесконечных листов с поверхностной плотностью заряда [L-2]. В этом случае все размерности сходятся без каких либо дополнительных манипуляций.