Перейти к содержанию
    

729

Участник
  • Постов

    312
  • Зарегистрирован

  • Посещение

Репутация

0 Обычный

Информация о 729

  • Звание
    Местный
    Местный

Контакты

  • ICQ
    Array
  1. Давайте по электронной почте, ладно? Моя: 729 собака inbox.ru.
  2. Если Word, то формулы мне удобней в MathType, к сожалению не знаю даже, что такое tex.
  3. Попробую через личку. Если не пролезет, дам знать. В чем удобнее файлы делать, в MSWord или OpenOffice? Забыл добавить, если кому-то надоест, то просто прерываем без публикации результатов. А то публиковать не очень понятно что. Идёт?
  4. Хорошо. Предлагаю такой вариант. Уходим в личку или на E-mail, чтобы не засорять ветку. Там представлю, естественно со своей колокольни корректное, доказательство неединственности "дельт" для некоторых подпространств пространства основных функций S (бесконечно дифференциируемых быстроубывающих функций) как в обычном, так и в обобщенном смыслах (думаю, достаточно будет одного подпространства). Вы в этой переписке выступите конструктивным оппонентом. Результаты, какие бы они не были, выложим в эту ветку или в ветку со статьями. Даже если по каким-то вопросам не сойдемся во мнениях, выложим и эти свои мнения. Что-то доказанным будет считаться только тогда, когда мы оба согласимся с приведенными выводами. Если согласия не будет, то это что-то доказанным считаться не будет. Согласны? Моё мыло 729 собака inbox.ru.
  5. Это в бесконечных-то пределах? Причем тут финитные функции? Это пространство функций с финитным спектром. И строить, как уже говорил, ничего не собираюсь. В приведенном пространстве синк с нормировкой сам себе "дельта" (в смысле не обобщенных функций). Можете рассмотреть это пространство в обобщенном смысле. Единственное что там нужно, это интегрируемость функций (основных и "обощенных") в квадрате, чтобы ПФ было определено.
  6. Котельников в своём самом первом интеграле упоминает "интегрируемость", которая совсем не обязательно "абсолютная интегрируемость". Возьмите в качестве функционального пространства пространство, натянутое на систему функций Котельникова. Не совсем понятно, каким образом тут может помочь Финк и Хургин с Яковлевым. Джерри могу Вам выслать. Однако, если действительно интересно, лучше разориться на http://www.ozon.ru/context/detail/id/1863587/.
  7. Да, в точках +-Fs/2 у ПФ синка есть разрыв, но почему вы считаете, что интегралы в этих точках расходятся? Сходимость интегралов в этих точках точно такая же, как и сходимость рядов Фурье. Да, для простоты я ввел обозначения Кудрявцева и Никольского. Согласитесь, что это бездоказательное утверждение. Пространство S` (обобщенные функциии на пространстве S) очень подробно описано у Владимирова и Колмогорова с Фоминым. Попробую пояснить. Пусть есть некое пространство функций с базисом. Скалярное произведение какой-то одной функции y, принадлежащей базису, с любым элементом указанного пространства x, то есть (y,x), есть функционал. В этом построении под термином "функция может удовлетворять определению функционала" понимается функция y. А зачем? Мы с вами говорим о математической строгости. Практическое применение, например, атомарных функций, на сегодняшний день очень сильно ограничено. Но, как мне кажется, речь о практическом применении у нас с вами не идёт. "Однобайтный" во многих конференциях имеет ник st256.
  8. Подскажу, синк абсолютно не интегрируем, но в несобственном смысле (обычно в литературе стречается, как просто интегрируем), а точнее, в смысле главного значения, интегрируем. В явном виде это написано у Никольского в соавторстве с кем-то в одной из книг по матанализу. Точное название книги сейчас не подскажу. Но в понедельник попробую найти. По-моему, не надо определять определённый интеграл от обобщенной функции. Достаточно определения самой обобщенной функции, как функционала на пространстве основных, то есть, X(основные функции) в R или С (числа). А вот тут, как мне кажется, и вся "заковыка". Владимиров показал, как можно построить очень стройную теорию (имеется в виду не только определения, но и дифференциируемсть, ПФ и прочая) обобщенных функций на конкретном пространстве S (быстро убывающих бесконечно дифференциируемых функций, в том числе и финитных - пространстве D, являющимся подпространством S, S - просто проще писать, да и именуется так в книгах Кудрявцева и Никольского), то есть, привел пример, как это сделать. Но он же пишет, что выбор пространства основных функций - грубо говоря, "дело хозяйское" и, зависит от решаемой задачи. В подтверждение он же пишет, например, что этот самый функционал, который во всей литературе определяется как линейный и непрерывный, непрерывным быть совсем не обязан. Финитные функции есть подпространство пространства S. Все мои рассуждения касаются имненно подпространств пространства S (не обязательно подпространства D). Делаю так, чтобы было понятно и вам и мне, о чем идет речь. А вот интересно (действительно интересно) почему вы считаете, что я делаю что-то не то. Давайте отойдем на время от обобщенных функций. В рамках классического анализа определению: "дельта" есть функционал, ставящий в соответствие любой непрерывной (совсем не очевидно, но для непрерывных сей факт доказан) функции её значение в какой-то конкретной точке, пусть это будет точка 0, удовлетворяет бесконечное множество функций (обычных, не обобщенных), если функции удовлетворяют некоторым условиям, например, финитности их (функций) ПФ. Ну что можно поделать, если это так. Среди этих "дельт" есть такие, которые на изученных пространствах основных функций (пространство S), являются обобщенными, в частности синк (это утверждение не моё, а С.М.Никольского, если нужно точная ссылка, то поищу, но на следующей неделе). Чисто моё мнение, матаппарат обобщенных функций на пространстве S нужно рассматривать как пример посторения теории. Вот для решения некой моей задачи совсем не нужна бесконечная дифференциируемость обобщенных функций. Отсюда, ну на кой ляд мне нужна бесконечная дифференцируемость основных функций? Ну не нужна она. Значит (ИМХО) я могу в некотором (вполне определенном) смысле расширить пространство основных функций. Ни в одной книжке по обобщенным функциям, которые читал, этого не запрещалось. Может, конечно, плохо читал. Если ткнёте меня носом в литературу, где обосновывается упомянутый запрет, то буду очень благодарен.
  9. Если позволите, немного забегу назад, просто в качестве "придирки". В посте №30 в диалоге с fontp вы написали "...базис Котельникова ортонормирован.". Если вы имеете в виду функции Котельникова sin(pi*Fs*t)/(pi*Fs*t), то эта система функций орто, но ненормирована. Нормированной будет система Fs*sin(pi*Fs*t)/(pi*Fs*t). В посте №83 вы написали ==Кстати, помарка в этом доказательстве у Котельникова всё-таки есть, так как он пишет про "интегрируемость", подразумевая "абсолютно интегрируемость".==. Помарки тут нет, всё очень четко. Иначе вы лишаете Котельникова возможности проанализировать свой ряд на предмет финитности его (ряда) ПФ. По поводу интеграла в бесконечных пределах от дельты Дирака. Первообразная тут не причем, как и определённый интеграл от обобщенной функции, ибо не определён пока. Но, поскольку дельта Дирака определяется как функционал, ставящий в соответствие и так далее, то интеграла в бесконечных пределах от дельты Дирака и есть тот самый функционал от основной функции f(x)=1, которая ни D, ни S (пространству быстроубывающих) не принадлежит. "Хорошая" это основная функция, или "плохая", судить не будем. Она непрерывна, что несколько облегчает жизнь, но не является необходимым условием. В вопросе о пробных функциях медленного роста, так приведённые мною примеры, кроме одного, вообще к обобщенным функциям отношения не имеют. Но это не мешает рассматривать "дельты" в виде синков как обобщенные - синк является обобщенной функцией на пространстве S, которое состоит, например, из преобразований Фурье атомарных функций. Так что вы зря так про синки.
  10. Давайте продолжим. Но, если это не будет для вас чем-то не очень удобным, то в таком-же, как до сих пор, "медленном" темпе, просто очеь много работы.
  11. Или, согласно вашему утверждению, интеграл от дельта-функции Дирака в бесконечных пределах неопределён, ибо единица нефинитна. Я правильно понял? Позвольте, то, что я что-то пытаюсь построить новое, это ваши домыслы. Ничего я не хочу построить новое мили перестроить старое. А, как вы его величаете, ущербное множество пробных функций, является подпространством функций медленного роста. Вы привели определение дельта-функции Дирака, и прочитали у Владимирова про её точечный носитель. Нет никаких вопросов. Только приведенное вами доказательство требует уточнения. Почему - я вам написал. Только и всего. Ну а то, что "дельт" для разных пространств может быть много, вы вроде и не спорите. И Владимирову это не противоречит. По-моему, дискуссию можно завершать. Топикстартер ответ на свой вопрос получил, и, похоже, им проникся. Вы не возражаете?
  12. Если позволите, то не буду цитировать. Давайте я вам просто приведу примеры функций, не обязательно обобщенных, которые для некоторых пространств пробных функций удовлетворяют приведенному вами определению, но имеют неточечный носитель. Ограничимся областью определения R1. Под "дельта" буду понимать функцию, удовлетворяющую определению, но не дельта-функцию Дирака. 1. Для всех пробных функций с ограниченным ПФ определению удовлетворяет бесконечное множество взвешенных синков с "частотой" не менее некоторой. 2. Для вполне определенного подпространства пространства функций, заданных как взвешенная сумма (в общем случае бесконечная по числу слагаемых) дельта-функций Дирака, определению удовлетворяет бесконечное множество "дельт" вида А*(дельта Дирака)+сумма(В_i*синк_i), где синк_i - синки с "частотой" на некотором интервале ненулевой длины, сумма может быть и бесконечна по числу слагаемых. 3. В общем случае, если ПФ пробной функции на оси частот содержит хоть один отрезок ненулевой длины, на котором ПФ=0, то определению удовлетворяет бесконечное множество "дельт", и можно показать, как они строятся. При этом вполне может оказаться, что пробная функция и "дельта" - функции комплексные. Владимиров как-то вообще не заморачивается определением определенного интеграла, но совершенно спокойно определяет фукнкционал с дельтой Дирака, как предел дельта- образующих последовательностей, в том числе и в ограниченных пределах (по моему изданию, например, в разделе глава1, параграф 1.9 - "Замена переменных в обобщенных функциях"). По поводу примера последовательности несимметричных функций с площадью, равной 1 и так далее, - предел по e->0 от дельта(e,t), равной 1/e при -e<=t<0 и равной 0 при t<-e и t=>0.
×
×
  • Создать...