[Antoff 0]

Здравствуйте! Помогите пожалуйста. В RC-цепи нужно определить величину постоянной времени при которой отклонение закона изменения напряжения на конденсаторе от линейного в конце импульса не превысит 1%. Тут имеется ввиду, что отношение входного напряжения к выходному равно 1,01? Или что тут подразумевается?

[Tanya 4]

Имели В Виду, что для правильного ответа надо уметь решать простейшие дифференциальные уравнения и, возможно, раскладывать экспоненту в ряд Тейлора.

[Michael Michael 0]

https://written.ru/articles/science/complex_exponent

 

e^x ≈ 1 + x,     |x| << 1. Например, exp(0,01)=1,0100502.

 

...отсюда, может,зайти. Но это не точно)

Изменено 3 июня, 2021 пользователем Michael Michael

[Antoff 0]

2 часа назад, Tanya сказал:

Имели В Виду, что для правильного ответа надо уметь решать простейшие дифференциальные уравнения и, возможно, раскладывать экспоненту в ряд Тейлора.

Я не особо понимаю данную задачу. Вот у нас закончился выходной импульс и уравнение напряжения приняло вид: Uвых=Uвх(1-exp(-t/RC). Какие дальше мои действия? 

[Tanya 4]

2 часа назад, Michael Michael сказал:

https://written.ru/articles/science/complex_exponent

 

e^x ≈ 1 + x,     |x| << 1. Например, exp(0,01)=1,0100502.

 

...отсюда, может,зайти. Но это не точно)

 

Маловато будет только линейного члена...

50 минут назад, Antoff сказал:

Я не особо понимаю данную задачу. Вот у нас закончился выходной импульс и уравнение напряжения приняло вид: Uвых=Uвх(1-exp(-t/RC). Какие дальше мои действия? 

Вот это выражение описывало напряжение на конденсаторе только во время импульса типа тета- функции.

[Herz 4]

См. со стр. 30

[Michael Michael 0]

11 часов назад, Antoff сказал:

В RC-цепи нужно определить величину постоянной времени, при которой отклонение закона изменения напряжения на конденсаторе от линейного, в конце импульса не превысит 1%. Тут имеется ввиду, что отношение входного напряжения к выходному равно 1,01? Или что тут подразумевается?

...или где... или запятые надо ставить. Самому.

 

7 часов назад, Tanya сказал:

во время импульса типа тета- функции.

...вот чего не хватало для полноты картины. Теперь заживем. Опираясь на эти гипотезы, есть смелая версия. Но это не точно)

 

Изменено 4 июня, 2021 пользователем Michael Michael

[MrGalaxy 9]

18 часов назад, Antoff сказал:

Здравствуйте! Помогите пожалуйста. В RC-цепи нужно определить величину постоянной времени при которой отклонение закона изменения напряжения на конденсаторе от линейного в конце импульса не превысит 1%. Тут имеется ввиду, что отношение входного напряжения к выходному равно 1,01? Или что тут подразумевается?

В начальный момент напряжение на конденсаторе растёт по линейному закону (идеальный интегратор), потом уже по экспоненте. Именно отклонение экспоненты от линейного закона на 1% и надо определить.

Наклон линейного участка определите по закону Ома, исходя из того, что в начальный момент времени конденсатор представляет собой КЗ.

Дальше считаете экспоненту и находите отклонение. Ни в какие ряды раскладывать не надо. Ждать окончания импульса тоже не надо.

Исходите из бесконечной длительности импульса (единичный скачок).

Это для понимания.

Потом решаете обратную задачу: заданная в Вашей задаче длительность импульса и есть то время, при котором происходит отклонение на 1% от линейного закона.

[Tanya 4]

6 часов назад, MrGalaxy сказал:

В начальный момент напряжение на конденсаторе растёт по линейному закону (идеальный интегратор), потом уже по экспоненте. Именно отклонение экспоненты от линейного закона на 1% и надо определить.

Наклон линейного участка определите по закону Ома, исходя из того, что в начальный момент времени конденсатор представляет собой КЗ.

Дальше считаете экспоненту и находите отклонение. Ни в какие ряды раскладывать не надо. Ждать окончания импульса тоже не надо.

Исходите из бесконечной длительности импульса (единичный скачок).

Это для понимания.

Потом решаете обратную задачу: заданная в Вашей задаче длительность импульса и есть то время, при котором происходит отклонение на 1% от линейного закона.

Ну и как найти отклонение от линейной функции? Построить график и линейкой измерять?

Выход = вход(1-exp(-t/T) - уже решили дифференциальное уравнение. Теперь либо разложение в ряд даст приближение в виде вход(t/T-1/2(t/T)^2 + члены высших степеней), либо дифференцируем и получаем

Выход с точкой (производная) = вход (exp(-t/T))/T, что приближенно дает вход 1/T(1 - t/T).

[Michael Michael 0]

Заинтриговали.

Экспонента похожа на прямую в начале своей карьеры и при её завершении. Ну, это я, как художник, так вижу).

Хотелось бы (от ТС) увидеть оригинал задачи, а не пересказ.

 

...если здесь отписавшиеся задачу решили, скажите свои ответы. Ход решений не надо, только ответы на поставленный ТС вопрос. Давайте сравним)

 

...или ещё кто-нибудь желающий.

Изменено 4 июня, 2021 пользователем Michael Michael

[MrGalaxy 9]

2 часа назад, Tanya сказал:

Ну и как найти отклонение от линейной функции? Построить график и линейкой измерять?

Выход = вход(1-exp(-t/T) - уже решили дифференциальное уравнение. Теперь либо разложение в ряд даст приближение в виде вход(t/T-1/2(t/T)^2 + члены высших степеней), либо дифференцируем и получаем

Выход с точкой (производная) = вход (exp(-t/T))/T, что приближенно дает вход 1/T(1 - t/T).

Зачем же линейка, эксель на это дело есть. :)

Вообще-то я подразумевал для студента аналитическое решение через систему двух уравнений. Одно уравнение - линейная функция, второе - экспонента, которую Вы привели и которая есть во всех учебниках.

1 час назад, Michael Michael сказал:

...если здесь отписавшиеся задачу решили, скажите свои ответы. Ход решений не надо, только ответы на поставленный ТС вопрос. 

Без конкретных RC возможен только ход решения. Да и готовый ответ давать в этой ветке есть моветон. ))

[Tanya 4]

2 часа назад, MrGalaxy сказал:

Зачем же линейка, эксель на это дело есть. :)

Вообще-то я подразумевал для студента аналитическое решение через систему двух уравнений. Одно уравнение - линейная функция, второе - экспонента, которую Вы привели и которая есть во всех учебниках.

Без конкретных RC возможен только ход решения. Да и готовый ответ давать в этой ветке есть моветон. ))

Зачем учить географию... Извозчик довезёт. Ответ получается аналитически в общем виде..

[Michael Michael 0]

05.06.2021 в 00:03, Tanya сказал:

Зачем учить географию... Извозчик довезёт. Ответ получается аналитически в общем виде..

Это точно). В изучении географии никакой всеобщей необходимости нет. Извозчик, "если он ещё не слишком  пьян", действительно, довезёт. И ответ получается аналитически в общем виде.

Хотелось бы взглянуть на ваш ответ, но настаивать не могу).

 

...а календари вовсе и не врут.

На картинке микрокап.  Тау = 10mS, Umax = 10V.

 

Видно, что когда время существования импульса достигло  расчетного значения 4.6х10mS = 46mS, напряжение на емкости составило расчетное значение 0.99х10V = 9.9V и далее отклонение от прямой линии с ординатой 10V всё меньше и меньше одного процента.

И этот участок, от 46mS и дальше, самый длинный линейный участок в этой экспоненте.  Всё, что раньше - только возможная аппроксимация короткими отрезками.

 

Даже от начала, вроде кажется прямо, но если подробней рассмотреть от начала кусок длиной всего в тау, линейностью в процент там и не пахнет, и чем дальше, тем кривей.

 

...можно найти, при каком времени от начала линейность экспоненты будет не хуже 1 ℅.

Обозначим x = t/τ. Тогда Uc = Umax*(1 - e^(-x)). Это точное выражение. Теперь следите за руками:

 

 x<<1  →   e^x ≈  1 + x  →   e^(-x) ≈  1 - x  →   Uc = Umax*(1 - e^(-x)) → Uc ≈ x* Umax .

То есть, если  x = t/τ <<1, то  Uc ≈ (t/τ) * Umax → это приблизительное выражение.

 

При  x = t/τ = 0.02  отношение приблизительного значения Uc к точному равно 1.0100347.

Это значит, что " отклонение закона изменения напряжения на конденсаторе от линейного, в конце импульса не превысит 1%", если постоянная времени будет больше длительности импульса в 50 раз и более. В данном примере, длительность импульса должна быть 0.2mS или меньше. При этом на выходе Uc составит два процента от Umax  или меньше.

 

...а также, если длительность импульса будет больше постоянной времени более чем в 4.6 раза (первый рассмотренный мной случай).  В данном примере, длительность импульса должна быть больше 46mS. При этом на выходе Uc составит от 0.99*Umax и выше.

 

Изменено 5 июня, 2021 пользователем Michael Michael