[Oldring 0]

В посте №30 в диалоге с fontp вы написали "...базис Котельникова ортонормирован.".

Если вы имеете в виду функции Котельникова sin(pi*Fs*t)/(pi*Fs*t), то эта система функций орто, но ненормирована.

Нормированной будет система Fs*sin(pi*Fs*t)/(pi*Fs*t).

 

Не возражаю, тем более, что нормировка базиса в нормированном пространстве - это тривиальная операц.я

 

В посте №83 вы написали ==Кстати, помарка в этом доказательстве у Котельникова

всё-таки есть, так как он пишет про "интегрируемость", подразумевая "абсолютно

интегрируемость".==.

Помарки тут нет, всё очень четко. Иначе вы лишаете Котельникова возможности

проанализировать свой ряд на предмет финитности его (ряда) ПФ.

 

Посмотрю, не сейчас. Не принципиально, хоть и любопытно.

 

Но, поскольку дельта Дирака определяется как функционал, ставящий в

соответствие и так далее, то интеграла в бесконечных пределах от дельты Дирака

и есть тот самый функционал от основной функции f(x)=1

 

Не понял. Какой "тот самый"? Почему линейное отображение пространства обощенных функций (а от любого определения определенного интеграла как операции на пространстве обобщенных функций я ожидаю как минимум свойства линейности) в непонятно какое пространство стало вдруг функционалом от какой-то конкретной пробной функции из непонятно какого пространства?

 

Я на самом деле не понимаю сейчас, как можно определить определенный интеграл обобщенной функции непротиворечиво. Вы пока что определение не подсказали.

 

В вопросе о пробных функциях медленного роста, так приведённые мною примеры,

кроме одного, вообще к обобщенным функциям отношения не имеют. Но это не мешает

рассматривать "дельты" в виде синков как обобщенные - синк является

обобщенной функцией на пространстве S, которое состоит, например, из

преобразований Фурье атомарных функций. Так что вы зря так про синки.

 

Синки - они вполне себе регулярные функции, которые можно рассматривать как обобщенные функции и, даже, как обобщенные функции медленного роста., тут никаких возражений Я возражаю против ваших вольностей с пробными функциями, которые приводят к их ущербности. Во всех определениях используется квантор всеобщности по некоторому пространству пробных функций. Да, можно пытаться расширять пространство пробных фнукций, при этом, соответственно, будет сужаться пространство обобщенных функций. Но если вы пытаетесь ввести в обращение некое пространство пробных функций, которое не включает в себя даже финитные функции - вы делаете что-то не то. Не удивительно, что вы после таких манипуляций не можете отличить даже один синк от другого.

[729 0]

Посмотрю, не сейчас. Не принципиально, хоть и любопытно.

Подскажу, синк абсолютно не интегрируем, но в несобственном смысле (обычно в

литературе стречается, как просто интегрируем), а точнее, в смысле главного

значения, интегрируем. В явном виде это написано у Никольского в соавторстве с

кем-то в одной из книг по матанализу. Точное название книги сейчас не подскажу. Но в понедельник попробую найти.

 

Не понял. Какой "тот самый"? Почему линейное отображение пространства обощенных

функций (а от любого определения определенного интеграла как операции на

пространстве обобщенных функций я ожидаю как минимум свойства линейности) в

непонятно какое пространство стало вдруг функционалом от какой-то конкретной

пробной функции из непонятно какого пространства?

Я на самом деле не понимаю сейчас, как можно определить определенный интеграл

обобщенной функции непротиворечиво. Вы пока что определение не подсказали.

По-моему, не надо определять определённый интеграл от обобщенной функции.

Достаточно определения самой обобщенной функции, как функционала на пространстве

основных, то есть, X(основные функции) в R или С (числа). А вот тут, как мне кажется,

и вся "заковыка". Владимиров показал, как можно построить очень стройную теорию

(имеется в виду не только определения, но и дифференциируемсть, ПФ

и прочая) обобщенных функций на конкретном пространстве S (быстро убывающих бесконечно

дифференциируемых функций, в том числе и финитных - пространстве D, являющимся

подпространством S, S - просто проще писать, да и именуется так в книгах Кудрявцева

и Никольского), то есть, привел пример, как это сделать. Но он же пишет, что

выбор пространства основных функций - грубо говоря, "дело хозяйское" и, зависит

от решаемой задачи. В подтверждение он же пишет, например, что этот самый функционал,

который во всей литературе определяется как линейный и непрерывный, непрерывным

быть совсем не обязан.

 

Финитные функции есть подпространство пространства S. Все мои рассуждения касаются

имненно подпространств пространства S (не обязательно подпространства D). Делаю так, чтобы

было понятно и вам и мне, о чем идет речь.

 

Синки - они вполне себе регулярные функции, которые можно рассматривать как

обобщенные функции и, даже, как обобщенные функции медленного роста., тут

никаких возражений Я возражаю против ваших вольностей с пробными функциями,

которые приводят к их ущербности. Во всех определениях используется квантор

всеобщности по некоторому пространству пробных функций. Да, можно пытаться

расширять пространство пробных фнукций, при этом, соответственно, будет

сужаться пространство обобщенных функций. Но если вы пытаетесь ввести в

обращение некое пространство пробных функций, которое не включает в себя даже

финитные функции - вы делаете что-то не то.

А вот интересно (действительно интересно) почему вы считаете, что я делаю что-то не то.

 

Не удивительно, что вы после таких манипуляций не можете отличить даже один синк от другого.

Давайте отойдем на время от обобщенных функций. В рамках классического анализа

определению: "дельта" есть функционал, ставящий в соответствие любой непрерывной

(совсем не очевидно, но для непрерывных сей факт доказан) функции её значение в какой-то конкретной

точке, пусть это будет точка 0, удовлетворяет бесконечное множество функций (обычных,

не обобщенных), если функции удовлетворяют некоторым условиям, например, финитности

их (функций) ПФ. Ну что можно поделать, если это так. Среди этих

"дельт" есть такие, которые на изученных пространствах основных функций (пространство

S), являются обобщенными, в частности синк (это утверждение не моё, а С.М.Никольского,

если нужно точная ссылка, то поищу, но на следующей неделе).

 

Чисто моё мнение, матаппарат обобщенных функций на пространстве S нужно

рассматривать как пример посторения теории.

Вот для решения некой моей задачи совсем не нужна бесконечная

дифференциируемость обобщенных функций. Отсюда, ну на кой ляд мне нужна

бесконечная дифференцируемость основных функций? Ну не нужна она. Значит (ИМХО)

я могу в некотором (вполне определенном) смысле расширить пространство основных

функций. Ни в одной книжке по обобщенным функциям, которые читал, этого не

запрещалось. Может, конечно, плохо читал. Если ткнёте меня носом в литературу,

где обосновывается упомянутый запрет, то буду очень благодарен.

[Oldring 0]

Подскажу, синк абсолютно не интегрируем

 

И я об этом. У синка и классическое преобразование Фурье существует не во всех точках, так как в паре точек интегралы расходятся. У его ПФ на краях отрезка разрыв. А Котельников начинает доказательство с существования ПФ рассматриваемой функции. Поэтому к чему это там у него приводит и каким условием обойти в рамках полностью классического анализа - нужно смотреть внимательно.

 

Финитные функции есть подпространство пространства S. Все мои рассуждения касаются

имненно подпространств пространства S (не обязательно подпространства D). Делаю так, чтобы

было понятно и вам и мне, о чем идет речь.

 

S - это пространство быстроубывающих бесконечно дифференцируемых функций, а D - финитных бесконечно дифференцируемых?

D есть подмножество S и всюду плотное в S, что позволяет Владимирову легко перенести выводы с D в S. А без D с пробными функциями там будет фигня, так как без специального отдельного анализа ещё неизвестно, какие свойства обощенных функций сохранятся. Это будет совершенно иная теория.

 

Давайте отойдем на время от обобщенных функций. В рамках классического анализа

определению: "дельта" есть функционал, ставящий в соответствие любой непрерывной

(совсем не очевидно, но для непрерывных сей факт доказан) функции её значение в какой-то конкретной

точке, пусть это будет точка 0, удовлетворяет бесконечное множество функций (обычных,

не обобщенных), если функции удовлетворяют некоторым условиям, например, финитности

их (функций) ПФ. Ну что можно поделать, если это так.

 

Опять двадцать пять. Ну что значит "удовлетворяет бесконечное множество функций (обычных,

не обобщенных)" если на две строчки выше вы написали, что "дельта есть функционал". Как же функция может удовлетворять определению функционала? Они же совершенно разные области определения имеют. Вас очень сложно мне понимать. Именно поэтому я и думаю, что вы порите чушь, что не вижу в ваших рассуждениях строгости и непротиворечивости.

 

 

 

Отсюда, ну на кой ляд мне нужна

бесконечная дифференцируемость основных функций? Ну не нужна она. Значит (ИМХО)

я могу в некотором (вполне определенном) смысле расширить пространство основных

функций. Ни в одной книжке по обобщенным функциям, которые читал, этого не

запрещалось. Может, конечно, плохо читал. Если ткнёте меня носом в литературу,

где обосновывается упомянутый запрет, то буду очень благодарен.

 

Например, для того, чтобы обощенные функции тоже оказались бесконечно дифференцируемыми.

 

Пробные (основные) функции - они служебные функции, позволяющие различать обобщенные функции. В этом и смысл "обобщенных функций" когда мы сами функции определяем лишь по их действию в некоторых "тестах". Поэтому, чем шире пространство пробных функций - тем уже оказывается класс непротиворечивых обобщенных функций, и наоборот, потому что некоторые определенные на более узком основном пространстве обобщенные функции окажутся нерасширяемы непротиворечиво на более широкое тестовое пространство. Но чтобы это всё имело практический смысл - необходимо, чтобы, по возможности, сохранялись привычные свойства обычных функций, отображаемых некоторым очевидным линейным образом в пространство обобщенных.

[GetSmart 0]

Зачем спрашивается лезть в дебри? Есть же более очевидные вещи.

[thermit 1]

Очевидные вещи - не значит правильные.

Например, для вас очевидно, что котельников ошибся. А это далеко не так.

[729 0]

И я об этом. У синка и классическое преобразование Фурье существует не во всех

точках, так как в паре точек интегралы расходятся. У его ПФ на краях отрезка

разрыв. А Котельников начинает доказательство с существования ПФ рассматриваемой

функции. Поэтому к чему это там у него приводит и каким условием обойти в рамках

полностью классического анализа - нужно смотреть внимательно.

Да, в точках +-Fs/2 у ПФ синка есть разрыв, но почему вы считаете, что интегралы

в этих точках расходятся? Сходимость интегралов в этих точках точно такая же, как

и сходимость рядов Фурье.

 

S - это пространство быстроубывающих бесконечно дифференцируемых функций, а D -

финитных бесконечно дифференцируемых?

Да, для простоты я ввел обозначения Кудрявцева и Никольского.

 

D есть подмножество S и всюду плотное в S, что позволяет Владимирову легко

перенести выводы с D в S. А без D с пробными функциями там будет фигня, так как

без специального отдельного анализа ещё неизвестно, какие свойства обощенных

функций сохранятся. Это будет совершенно иная теория.

Согласитесь, что это бездоказательное утверждение. Пространство S` (обобщенные

функциии на пространстве S) очень подробно описано у Владимирова и Колмогорова с Фоминым.

 

Опять двадцать пять. Ну что значит "удовлетворяет бесконечное множество функций

(обычных, не обобщенных)" если на две строчки выше вы написали, что "дельта

есть функционал". Как же функция может удовлетворять определению функционала?

Они же совершенно разные области определения имеют. Вас очень сложно мне

понимать.

Попробую пояснить. Пусть есть некое пространство функций с базисом. Скалярное

произведение какой-то одной функции y, принадлежащей базису, с любым элементом указанного пространства x,

то есть (y,x), есть функционал. В этом построении под термином "функция может удовлетворять

определению функционала" понимается функция y.

 

Например, для того, чтобы обощенные функции тоже оказались бесконечно

дифференцируемыми.

А зачем?

 

Пробные (основные) функции - они служебные функции, позволяющие различать

обобщенные функции. В этом и смысл "обобщенных функций" когда мы сами функции

определяем лишь по их действию в некоторых "тестах". Поэтому, чем шире

пространство пробных функций - тем уже оказывается класс непротиворечивых

обобщенных функций, и наоборот, потому что некоторые определенные на более

узком основном пространстве обобщенные функции окажутся нерасширяемы

непротиворечиво на более широкое тестовое пространство. Но чтобы это всё имело

практический смысл - необходимо, чтобы, по возможности, сохранялись привычные

свойства обычных функций, отображаемых некоторым очевидным линейным образом в

пространство обобщенных.

Мы с вами говорим о математической строгости. Практическое применение, например,

атомарных функций, на сегодняшний день очень сильно ограничено. Но, как мне кажется,

речь о практическом применении у нас с вами не идёт.

 

Кто такой Однобайтный?

"Однобайтный" во многих конференциях имеет ник st256.

Изменено 9 октября, 2010 пользователем 729

[Oldring 0]

Да, в точках +-Fs/2 у ПФ синка есть разрыв, но почему вы считаете, что интегралы

в этих точках расходятся? Сходимость интегралов в этих точках точно такая же, как

и сходимость рядов Фурье.

 

Так сами попробуйте взять интеграл от sin^2(x)/x в бесконечных пределах, только без всяких "главных значений", пожалуйста, о которых Котельников в своём самом первом интеграле не упоминает.

 

Согласитесь, что это бездоказательное утверждение. Пространство S` (обобщенные

функциии на пространстве S) очень подробно описано у Владимирова и Колмогорова с Фоминым.

 

Как функционалы на S, которое есть всюду плотное расширение D по утверждению Владимирова - да, вводят.

 

Попробую пояснить. Пусть есть некое пространство функций с базисом. Скалярное

произведение какой-то одной функции y, принадлежащей базису, с любым элементом указанного пространства x,

то есть (y,x), есть функционал. В этом построении под термином "функция может удовлетворять

определению функционала" понимается функция y.

 

Давайте всё-таки попытаемся добиться четкости. Существование базиса не означает автоматически существование и, тем более, единственность скалярного произведения. Например, для всех функций на R очевидным базисом служит множество функций, равных нулю всюду, кроме одной точки. Но попробуйте там определить скалярное произведение... Так что, не могли бы вы строго определить для начала ваше функциональное пространство и скалярное произведение в нём, на примере которого хотите продемонстрировать множественность дельт, прежде, чем идти дальше??

[ivan219 0]

Извиняюсь, конечно, но тут уже больше 100 постов и я не могу понять всём причина дискуссии.

 

Вы что спорите, возможно, из цифровой частоты равной F / 2 = 0.5 частоты дискретизации получить синусоидальный сигнала с нужной амплитудой и фазой?

 

Любой сигнал несет в себе три основных веще Фаза, Амплитуда, Частота. А тут кроме частоты ничего больше нет.

Так как при изменении, что амплитуды, что фазы меняется не понятно что. Так что моё мнение частота 0.5F не несёт в себе никакой информации кроме самой частоты.

 

Если я не в тему попал. Объясните о чём спор?

Изменено 9 октября, 2010 пользователем ivan219

[GetSmart 0]

Если я не в тему попал. Объясните о чём спор?

Спор о том, почему яйцеголовые не видят ошибки в формулах Котельникова.

Причём некоторые из них упорно защищают Котельникова придумывая обходные оправдания. Адвокаты дьявола :)

Изменено 9 октября, 2010 пользователем GetSmart

[ivan219 0]

Теория без практики глупа.

Эксперементы всё разложут по полочкам.

[thermit 1]

GetSmart:

Спор о том, почему яйцеголовые не видят ошибки в формулах Котельникова.

 

Конечно же не об этом.

 

Кстати, а где конкретно в "формулах котельникова" "ошибка/и"?

 

 

[GetSmart 0]

Где в доказательстве мне лень вникать. А в формулировке - во включении частоты F в допустимый диапазон частот входного сигнала.

 

Но вообще-то ошибка мелкая и недостойна 130 постов и потраченного времени.

 

729-ый хоть и пытался честно (на его взгляд) разобраться. Но опять перепутал причину со следствием. Он одним следствием пытался оправдать другое и получилась тавтология.

[thermit 1]

GetSmart:

Где в доказательстве мне лень вникать.

 

Гы. Понятно.

 

 

[GetSmart 0]

Была б награда, я бы вник.

[bahurin 0]

еще раз для тех чья цель понять и разобраться, а не устраивать фаллометрию по поводу вложенных подпространств и сходимости - расходимости интегралов есть книга Финк Сигналы помехи ошибки в ней не только про теорему отсчетов, и как ее правильно и неправильно трактовать, но и про работы Агеева, который доказал кучу следствий из теоремы отсчетов. Также интересна книга Хургин, Яковлев финитные функции в физике и технике там про обобщение теоремы отсчетов на случай дискретизации сигнала и его производных. Была еще статья в журнале ТИИЭР за 1977 год автора Джеррии. Как называется не помню но если кому интересно могу найти. А то уже превратилось в болтологию а-ля есть ли жизнь на марсе.