[0xFF 0]

Доброго здравия!

 

При отыскании решений для задачи Zero Dynamic Motion была найдена следующая зависимость между координатами (а1(ось х) и а2(ось у)) двух массовой модели объекта типа "циркуль".

 

 

Я смотрю на это семейство кривых и вроде узнаю кривую какой-то математической ф-ии.. Судя по приложенному рисунку кривая маштабируема коэф-том. Помогите, пожалуйста, найти ф-ию описывающую приведенные кривые.

 

С уважением,

Андрей

 

[MrYuran 21]

y = a * sin(b * x)

Тем более если циркуль

[0xFF 0]

y = a * sin(b * x)

Тем более если циркуль

 

Спасибо - кривая похожа,но моё предположение о маштабируемости видимо было ошибочным) вот что получилось. изменяя a

 

 

меняя b

m-file script

 

 

a = -0.5;
x = -pi/2:pi/100:pi/2;
y = zeros(1,size(x,2));
i = 0;
b = 1;
figure(1); hold on; grid on;
for a = -0.5:0.1:-0.1
    for x = -pi/2:pi/100:pi/2
        i = i+1;
    y(i) = a * sin(b * x);
    end
    i = 0;
    x = -pi/2:pi/100:pi/2;
    plot(x,y);
end
figure(2); hold on; grid on;
a = -0.5;
for b = 1:-0.1:0.1
    for x = -pi/2:pi/100:pi/2
        i = i+1;
    y(i) = a * sin(b * x);
    end
    i = 0;
    x = -pi/2:pi/100:pi/2;
    plot(x,y);
end

 

вот что получается при скалировании полученной зависимости

 

figure(3); hold on; grid on;
b = 1;
a = -0.5;
    for x = -pi/2:pi/100:pi/2
        i = i+1;
    y(i) = a * sin(b * x);
    end
    i = 0;
for sc = 1:-0.1:0    
    x = -pi/2:pi/100:pi/2; 
    plot(x*sc/4,y*sc);
end

 

Осталось изменить наклон

[Xenia 42]

На мой взгляд, синусы тут не годятся, хотя и позволяют апроксимировать эту область с достаточной точностью.

Куда проще представить зависимость, как x=f(y), т.е. поменять местами на графике оси x и у, чтобы эта зависимость хорошо подошла под полином 3-ей степени. Такой полином будет иметь вид:

x=ay³+by²+cy

свободного члена тут видимо не будет, т.к. кривая проходит через начало коородинат.

Да и из физических соображений очевидно, что сама исходная зависимость непериодична, а потому у нее нет той тенденции "загручиваться" на концах, которая присуща функции синуса. У исходной зависимости иная тенденция - ассимптотически приближаться к горизонтали.

Сам график переворачивать нет необходимости, если уж такая его форма для вас предпочтительнее. Но под апроксимирующий алгоритм подложить x и y поменяными местами ничего не стоит.

[scifi 1]

Эта штука больше на арктангенс похожа:

atan(x)

 

Или на гиперболический тангенс:

 

tanh(x)

 

Как будто к асимптотам стремится.

[Xenia 42]

Эта штука больше на арктангенс похожа:

Ага :). Вот только далеко не всегда удобно использовать модель на тригонометрических функциях.

[0xFF 0]

На мой взгляд, синусы тут не годятся, хотя и позволяют апроксимировать эту область с достаточной точностью.

Куда проще представить зависимость, как x=f(y), т.е. поменять местами на графике оси x и у, чтобы эта зависимость хорошо подошла под полином 3-ей степени. Такой полином будет иметь вид:

x=ay³+by²+cy

свободного члена тут видимо не будет, т.к. кривая проходит через начало коородинат.

Да и из физических соображений очевидно, что сама исходная зависимость непериодична, а потому у нее нет той тенденции "загручиваться" на концах, которая присуща функции синуса. У исходной зависимости иная тенденция - ассимптотически приближаться к горизонтали.

Сам график переворачивать нет необходимости, если уж такая его форма для вас предпочтительнее. Но под апроксимирующий алгоритм подложить x и y поменяными местами ничего не стоит.

 

Да я согласен с вами, что форма кривой очень подходит под полином 3го порядка...и это дейстительно, наверно, наилучший вариант...

Спасибо :rolleyes:

 

Эта штука больше на арктангенс похожа:

atan(x)

 

Или на гиперболический тангенс:

 

tanh(x)

 

Как будто к асимптотам стремится.

 

очень похожа

 

Ага :). Вот только далеко не всегда удобно использовать модель на тригонометрических функциях.

Использовать буду как ф-ию для линеаризации объекта, поэтому очень важно чтобы она инвертировалась

[Tanya 4]

tanh(x)

Как будто к асимптотам стремится.

 

Тогда уж -a*tanh(x/a)

[Xenia 42]

Прошу обратить внимание, что полином

x=ay³+by²+cy

имеет 3 степени свободы - коэффициенты a,b,c,

тогда как функции

a*atan(b*x) или a*tanh(b*x)

только две.

Это означает, что полином под свою кривую вы почти всегда подберете, а вот тригонометрическая функция под экспериментальные точки может не вписаться, т.к. фактически мы можем только плющить ее (т.е. растягивать или сжимать) вдоль каждой из осей, но не более того.

Пока мы смотрим на семейство кривых, получаемых растяжкой/сжатием, то все это выглядит в высшей степени подобно и никаких опасений не вызывает. Но как только начинается аппроксимация реальных точек, то тут-то и оказывается, что растяжек может оказаться недостаточно, чтобы точно наложить кривые друг на друга.

Но если все-таки тригономерическая аппроксимация подходит, то преподчтительнее, конечно, модель с наименьшим числом степеней свободы (коэффициентов). Этот вопрос должен решаться экспериментально - путем оценки невязок в том и другом случае, а не исходя из одних только априорных соображений о внешнем виде функций.

[0xFF 0]

Прошу обратить внимание, что полином

x=ay3+by2+cy

имеет 3 степени свободы - коэффициенты a,b,c,

тогда как функции

a*atan(b*x) или a*tanh(b*x)

только две.

Это означает, что полином под свою кривую вы почти всегда подберете, а вот тригонометрическая функция под экспериментальные точки может не вписаться, т.к. фактически мы можем только плющить ее (т.е. растягивать или сжимать) вдоль каждой из осей, но не более того.

Пока мы смотрим на семейство кривых, получаемых растяжкой/сжатием, то все это выглядит в высшей степени подобно и никаких опасений не вызывает. Но как только начинается аппроксимация реальных точек, то тут-то и оказывается, что растяжек недостаточно, чтобы точно наложить кривые друг на друга.

 

Сейчас проверим мои экспериметальные точки под гиперболический тангенс....

[Tanya 4]

Прошу обратить внимание, что полином

x=ay3+by2+cy

имеет 3 степени свободы - коэффициенты a,b,c,

тогда как функции

a*atan(b*x) или a*tanh(b*x)

только две.

Хочется возразить, что квадратичного члена тут нет. И тоже две степени свободы.

А то, что я писала выше содержит только один параметр. Производная у всего семейства в нуле одинаковая.

[Xenia 42]

Хочется возразить, что квадратичного члена тут нет. И тоже две степени свободы.

А то, что я писала выше содержит только один параметр. Производная у всего семейства в нуле одинаковая.

Если учитывать (т.е. фактически фиксировать) значение производной в начале координат, то одну степень свободы потеряет не только полином, но и тригонометрические функции

a*atan(b*x) или a*tanh(b*x),

поскольку растяги по осям перестанут быть независимыми.

Тогда растяг по х уже нельзя будет подобрать произвольным образом, а он будет жестко определяться "разницей уровней" по y, т.к. при любом ином растяге повредится производная в начале координат.

Я полагаю, что тогда шансы 0xFF натянуть эту функцию на свои точки устремятся к нулю. :)

[0xFF 0]

Вот что получилось

 

Красные - это экспеоиментальные кривые

Черная и синяя получены так

 figure(8); hold on; grid on
    a = -0.5054;
    x = -pi/8:pi/8/100:pi/8;
    b = pi/(pi/8);

    y =a*tanh(-1/a*b*x);
    plot(x,y,'b');
    i = 13;
    plot(ZeroDynamicPlot.object(i).states(1,:),ZeroDynamicPlot.object(i).states(3,:),'r');
    
    
    a = -0.1669;
    x = -pi/8:pi/8/100:pi/8;
    b = pi/(pi/8);

    y =a*tanh(-1/a*b*x);
    plot(x,y,'k');
    i = 5;
    plot(ZeroDynamicPlot.object(i).states(1,:),ZeroDynamicPlot.object(i).states(3,:),'r')

 

[Xenia 42]

Вот что получилось

Вот это и есть то, о чем я предупреждала. Либо наклон (производная) в начале координат не совпадет, либо не совпадут "выпуклости". Нос вытащишь - хвост увязнет. :)

 

А теперь полином испытайте!

[0xFF 0]

при небольшой корректировки коэф b удалсь добиться вот такого результата

 

b = (pi-0.5)/(pi/8);

 

 

Похоже, что ф-ия определена. Всем огромное спасибо.

 

Вот это и есть то, о чем я предупреждала. Либо наклон (производная) в начале координат не совпадет, либо не совпадут "выпуклости". Нос вытащишь - хвост увязнет. :)

 

А теперь полином испытайте!

 

Полином я обязательно проверю, т.к. для лианеризации он мне больше подходит