[Tpeck 0]

Доброго времени суток!

Помогите разобраться как сформирован порождающую многочлен g(x) для циклического кода.

В Блейхуте на стр. 123 в разделе минимальные многочлены и сопряжённые корни написано 

 

И проблема в том, что Matlab говорит, что примитивные только x^4+x+1 и x^4+x^3+1.

А x^4+x^3+x^2+x^1+1 - он не считает примитивным.

Кто здесь не прав? Кому верить? Или простой - это не примитивный?

Помогите разобраться. Спасибо.

[blackfin 16]

On 6/28/2022 at 11:02 PM, Tpeck said:

Или простой - это не примитивный?

Всякий примитивный полином является простым, но не всякий простой полином является примитивным.

См. определение 4.5.5 на стр. 103.

[Tpeck 0]

On 6/29/2022 at 9:51 AM, blackfin said:

Всякий примитивный полином является простым, но не всякий простой полином является примитивным.

См. определение 4.5.5 на стр. 103.

Спасибо. )

Может вы подскажите, почему минимальные многочлены в табл. 7.1 идут именно в таком порядке, а не в каком-либо другом.

Каким образом получено, что f1(x) = x^4 + x + 1, а не x^2 + x + 1?

Можно как-то показать, что для поля построенному по примитивному многочлену p(z)  = z^4 + z + 1, минимальный многочлен для alfa^1 равен именно x^4 + x + 1, а не какой-либо другой простой многочлен?

Помогите разобраться.

[blackfin 16]

On 7/1/2022 at 2:53 PM, Tpeck said:

.. почему минимальные многочлены в табл. 7.1 идут именно в таком порядке, а не в каком-либо другом.

В правом столбце указан простой многочлен корнем которого является элемент в левом столбце.

[Tpeck 0]

On 7/1/2022 at 6:40 PM, blackfin said:

В правом столбце указан простой многочлен корнем которого является элемент в левом столбце.

Спасибо, но вот теперь добрались до места где каждый раз я начинаю путаться. 

по опр. Элемент b является корнем многочлена p(x) тогда и только тогда, когда x-b делит p(x).

И вот тут я впадаю в ступор.

Возьмём b = alfa ^ 0, тогда x-b можно записать как x-1. И x+1 делится на x-1 без остатка. Это правильно или нет?

Для b = alfa ^ 1  = z; x - b = 0 ? На ноль делить нельзя (4.3.2). Значит смысла в этом вообще нету.

Как понять, что alfa корень минимального многочлена?

Что я делаю не так?

[des00 25]

57 minutes ago, Tpeck said:

по опр. Элемент b является корнем многочлена p(x) тогда и только тогда, когда x-b делит p(x).

эмм, а можно ссылку на данное определение? ЕМНП всегда корнем многочлена p(x) был элемент a, такой что p(a) = 0

[Tpeck 0]

On 7/1/2022 at 8:34 PM, des00 said:

эмм, а можно ссылку на данное определение? ЕМНП всегда корнем многочлена p(x) был элемент a, такой что p(a) = 0

Я тоже так всегда думал )

Это по сути одно и тоже, если вики верить.

Только я не могу понять, как подставить alfa, чтобы хоть p(a) = 0, хоть без остатка делилось.

Скрин из Блэйхута.

[framer 0]

On 7/1/2022 at 8:01 PM, Tpeck said:

Я тоже так всегда думал )

Это по сути одно и тоже, если вики верить.

Только я не могу понять, как подставить alfa, чтобы хоть p(a) = 0, хоть без остатка делилось.

Скрин из Блэйхута.

Это справедливо не для всех многочленов а для многочленов в поле GF(q).  

Это общее правило разложения многочленов на множители. Но для поля многочленов  GF(q) s(x) = 0 . Теперь если в данное разложение подставить бету то получим 0 т. е. корень. 

[Tpeck 0]

On 7/1/2022 at 6:40 PM, blackfin said:

В правом столбце указан простой многочлен корнем которого является элемент в левом столбце.

а если у многочлена есть корни, то разве его нельзя разложить на простые сомножители?

Но с другой стороны минимальный многочлен -  это простой многочлен, которые уже нельзя разложить на простые сомножители.

Я запутался. (

On 7/3/2022 at 9:12 AM, framer said:

Это справедливо не для всех многочленов а для многочленов в поле GF(q).  

Это общее правило разложения многочленов на множители. Но для поля многочленов  GF(q) s(x) = 0 . Теперь если в данное разложение подставить бету то получим 0 т. е. корень. 

для поля GF(2^4) построенному по p(z)  = z^4 + z + 1 - beta может принимать какие значения?

[aiwale 0]

В 01.07.2022 в 20:34, des00 сказал:

эмм, а можно ссылку на данное определение? ЕМНП всегда корнем многочлена p(x) был элемент a, такой что p(a) = 0

Теорема Безу. Остаток от деления p(x) на (x-a) равен p(a).

Если а - корень p(x), т.е. p(a) = 0, то p(x) делится на (x-a) без остатка.