Dmitry_B 0 17 июля, 2018 Опубликовано 17 июля, 2018 · Жалоба В приложении формула. Цитата Поделиться сообщением Ссылка на сообщение Поделиться на другие сайты Поделиться
dii# 0 17 июля, 2018 Опубликовано 17 июля, 2018 · Жалоба Если я не ошибаюсь, то интеграл sin x/x^2, не должен сходиться в окрестности 0. Соответственно H(0) неопределено. Цитата Поделиться сообщением Ссылка на сообщение Поделиться на другие сайты Поделиться
blackfin 27 17 июля, 2018 Опубликовано 17 июля, 2018 · Жалоба Преобразование Гильберта Цитата Поделиться сообщением Ссылка на сообщение Поделиться на другие сайты Поделиться
Dmitry_B 0 17 июля, 2018 Опубликовано 17 июля, 2018 · Жалоба Если я не ошибаюсь, то интеграл sin x/x^2, не должен сходиться в окрестности 0. Соответственно H(0) неопределено. Похоже. Ну, положим, там дельта - функция. А на остальной оси? Преобразование Гильберта Да. Но как его брать? Цитата Поделиться сообщением Ссылка на сообщение Поделиться на другие сайты Поделиться
blackfin 27 17 июля, 2018 Опубликовано 17 июля, 2018 · Жалоба Да. Но как его брать? ЕМНИП, через вычеты. У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться теоремой Коши. Метод такой: Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω. По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции. Вычет в точке x = 0 равен нулю. Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω. Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно. Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x2, оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю. Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно. Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить. В итоге получаете: ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω. Если ничего не напутал.. :biggrin: Цитата Поделиться сообщением Ссылка на сообщение Поделиться на другие сайты Поделиться
Dmitry_B 0 17 июля, 2018 Опубликовано 17 июля, 2018 · Жалоба ЕМНИП, через вычеты. У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться теоремой Коши. Метод такой: Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω. По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции. Вычет в точке x = 0 равен нулю. Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω. Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно. Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x2, оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю. Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно. Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить. В итоге получаете: ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω. Если ничего не напутал.. :biggrin: Идея понятна. Есть тут неприятность: теорема о вычетах требует, чтобы на контуре интегрирования не было полюсов - а они как раз на действительной оси. Нас интересует интеграл вдоль действительной оси - это должно быть нижней стороной контура при обычном обходе против часовой стрелки. Другие стороны (будь то прямоугольник или пол-окружности) должны быть бесконечно удалены от 0. Метод работает, если подинтегральная функция комплексного аргумента стремится по модулю к 0 при стремлении к бесконечности модуля комплексного аргумента. И здесь вторая трудность: |sin()| комплексного аргумента неограниченно растет при увеличении мнимой части - превращаясь в sh(). Хорошее предположение об ограниченности подинтегральной функции нарушается. И еще одно. Получилось, что преобразование Гильберта от sinc() есть та же самая sinc(). Тогда комплексная огибающая sinc() - тоже sinc()? Не очень похоже на правду. Цитата Поделиться сообщением Ссылка на сообщение Поделиться на другие сайты Поделиться
blackfin 27 17 июля, 2018 Опубликовано 17 июля, 2018 · Жалоба И еще одно. Получилось, что преобразование Гильберта от sinc() есть та же самая sinc(). Тогда комплексная огибающая sinc() - тоже sinc()? Не очень похоже на правду. Ну, там со сменой направления интегрирования не все так просто, как выяснилось.. ;) И здесь вторая трудность: |sin()| комплексного аргумента неограниченно растет при увеличении мнимой части - превращаясь в sh(). Хорошее предположение об ограниченности подинтегральной функции нарушается. Экспоненциальный рост функции sin(x) при x -> 0±i*∞ при указанном выше пути интегрирования нас, вроде, волновать не должен. Цитата Поделиться сообщением Ссылка на сообщение Поделиться на другие сайты Поделиться
blackfin 27 17 июля, 2018 Опубликовано 17 июля, 2018 · Жалоба В итоге получается так: UPD: Исправил ошибки.. :biggrin: То есть, искомый интеграл равен: I(ω) = pi*[1- cos(ω)]/ω. Цитата Поделиться сообщением Ссылка на сообщение Поделиться на другие сайты Поделиться
mcheb 0 18 июля, 2018 Опубликовано 18 июля, 2018 · Жалоба В приложении формула. Если w -> Real ,то не сходится Цитата Поделиться сообщением Ссылка на сообщение Поделиться на другие сайты Поделиться
blackfin 27 18 июля, 2018 Опубликовано 18 июля, 2018 · Жалоба Если w -> Real ,то не сходится Всё там сходится, для значений "ω" не равных тождественно нулю. PS. Кстати, формула, похоже, верна и в точке ω = 0. Цитата Поделиться сообщением Ссылка на сообщение Поделиться на другие сайты Поделиться
mcheb 0 18 июля, 2018 Опубликовано 18 июля, 2018 · Жалоба Всё там сходится, для значений "ω" не равных тождественно нулю. Для такого y = inline ("sin(x)/x/(3-x)"); [q, ier, nfun, err] = quad (y,-1000000000., 1000000000.) Октава выдала ABNORMAL RETURN FROM DQAGP Цитата Поделиться сообщением Ссылка на сообщение Поделиться на другие сайты Поделиться
blackfin 27 18 июля, 2018 Опубликовано 18 июля, 2018 · Жалоба Октава выдала ABNORMAL RETURN FROM DQAGP А она умеет вычислять главное значение интеграла по Коши? PS. Кстати, в английской версии Wiki есть табличка с готовыми формулами для преобразования Гильберта sinc-функции. Цитата Поделиться сообщением Ссылка на сообщение Поделиться на другие сайты Поделиться
thermit 1 18 июля, 2018 Опубликовано 18 июля, 2018 · Жалоба В итоге получается так: UPD: Полученный результат таки нужно поделить на два, так как путь интегрирования проходит через оба полюса. То есть, искомый интеграл равен: I(ω) = [1+ cos(ω)]/[2*ω]. Не правильно. Цитата Поделиться сообщением Ссылка на сообщение Поделиться на другие сайты Поделиться
blackfin 27 18 июля, 2018 Опубликовано 18 июля, 2018 · Жалоба Не правильно. Исправил. См. выше.. Цитата Поделиться сообщением Ссылка на сообщение Поделиться на другие сайты Поделиться
thermit 1 18 июля, 2018 Опубликовано 18 июля, 2018 · Жалоба Да. Цитата Поделиться сообщением Ссылка на сообщение Поделиться на другие сайты Поделиться