[fontp 0]

Давайте для определённости считать спектром просто непрерывное преобразование Фурье.

Моё утверждение просто до безобразия.

1. Если спектр функции отличен от нуля вне отрезка [-Fh,Fh] (точки +-Fh в этот отрезок входят), то частота дискретизации Fs>=1/(2Fh).

2. Функции синус и косинус Fs/2 дискретизируются со спектральными наложениями, следовательно спектры этих функций за отрезок [-Fh,Fh] "вылазят".

 

1. Если спектр отличен от нуля только внутри отрезка [-Fh,Fh]

и кроме того

2. Выполняются ещё какие-то условия, по сходимости например или что не содержит дискретных(сингулярных) компонент спектра на Fh

(они же не "вылазят" из [-Fh,Fh] они вылазят только из (-Fh,Fh] т.е под условие 1 не попадают)

 

то сигнал можно представить в каком то смысле интерполяционной формулой Уиттекера-Найквиста-Котельникова-теоремы отсчетов

 

Вообще-то так как она сформулирована у Котельникова там строго должно быть (-Fh, Fh)

Никаких других условий 2 вроде не было в оригинале, по ссылке, что приведена Олдрингом -

"состоящую из частот от 0 до f1".

[729 0]

В том что непонятно, что вы хотите сказать. Чётко сформулированные математическим языком утверждения я обычно понимаю. ;)

Куда уж четче. Попробую еще раз.

1. Если спектральная плотность (в терминологии Харкевича) или спектр (в терминологии Шеннона) некоторой функции (имеющей непрерывное ПФ) отличны от нуля на отрезке частот [-Fh,Fh], то ряд Котельникова по мгновенным значениям функции, взятым с частотой Fs большей или равной 2Fh, сходится равномерно к самой функции.

2. Спектры функций (в смысле ПФ обобщенных функций по Колмогорову с Фоминым) синус Fh и косинус Fh отличны от нуля за пределами отрезка частот [-Fh,Fh], поэтому их дискретизация с частотой 2Fh приводит к спектральным наложениям. И если косинус Fh рядом Котельникова восстанавливается точно, то синус Fh не восстанавливается вообще, ибо дискретизируется в нули.

Так понятней?

[fontp 0]

2. Спектры функций (в смысле ПФ обобщенных функций по Колмогорову с Фоминым) синус Fh и косинус Fh отличны от нуля за пределами отрезка частот [-Fh,Fh], поэтому их дискретизация с частотой 2Fh приводит к спектральным наложениям. И если косинус Fh рядом Котельникова

 

К наложениям приводят.

Но разве они за пределами [-Fh,Fh] ? Они лежат на -+Fh (т.е. внутри замкнутого интервала), в смысле обобщенных функций-сингулярностей

Другое дело что их спектральная плотность бесконечна

[729 0]

1. Если спектр отличен от нуля только внутри отрезка [-Fh,Fh]

Действительно ошибся. Спасибо, что поправили.

 

 

и кроме того

2. Выполняются ещё какие-то условия, по сходимости например или что не содержит дискретных(сингулярных) компонент спектра на Fh

(они же не "вылазят" из [-Fh,Fh] они вылазят только из (-Fh,Fh] т.е под условие 1 не попадают)

 

то сигнал можно представить в каком то смысле интерполяционной формулой Уиттекера-Найквиста-Котельникова-теоремы отсчетов

 

Вообще-то так как она сформулирована у Котельникова там строго должно быть (-Fh, Fh)

Никаких других условий 2 вроде не было в оригинале, по ссылке, что приведена Олдрингом -

"состоящую из частот от 0 до f1"

Там и нет более никаких условий, кроме того, что у дискретизируемой функции должен каким-то образом определен спектр (у Котельникова - это интеграл Фурье, у Шеннона - это ПФ по комплексным экспонентам). Но Котельников с Шенноном поставили знак равенства при том, что спектр может быть отличным от нуля в +-Fh, то есть в f1.

 

 

[thermit 1]

729:

Спектры функций (в смысле ПФ обобщенных функций по Колмогорову с Фоминым) синус Fh и косинус Fh отличны от нуля за пределами отрезка частот [-Fh,Fh]

 

С этого места можно подробнее? Каким образом спектры этих функций становятся отличны от 0 вообще при f != +- Fh?

[fontp 0]

Действительно ошибся. Спасибо, что поправили.

 

 

 

Там и нет более никаких условий, кроме того, что у дискретизируемой функции должен каким-то образом определен спектр (у Котельникова - это интеграл Фурье, у Шеннона - это ПФ по комплексным экспонентам). Но Котельников с Шенноном поставили знак равенства при том, что спектр может быть отличным от нуля в +-Fh, то есть в f1.

 

Думаю они просто не рассматривали функций с бесконечной спектральной плотностью на +-Fh. А с конечной плотностью значение в точке не имеет значения - вклад в точке бесконечно мал, если на пальцах.В большинстве источников, чтобы не морочить людям голову строго пишут - строго меньше

[729 0]

К наложениям приводят.

Но разве они за пределами [-Fh,Fh] ? Они лежат на -+Fh (т.е. внутри замкнутого интервала), в смысле обобщенных функций-сингулярностей

Другое дело что их спектральная плотность бесконечна

Вот и получается, что если положить, что не за пределами, а только в точках, то поимеем дело с неким неопознанным объектом в виде числа дельта-функция(0). Ну и невыполнения интеграла от дельта-функции = 1.

 

 

Думаю они просто не рассматривали функций с бесконечной спектральной плотностью на Fh. А с конечной плотностью значение в точке не имеет значения - вклад в точке бесконечно мал.В большинстве источников, чтобы не морочить людям голову строго пишут - строго меньше

Пишут. И, вероятно, они правы. Но при этом тень на Котельникова с Шенноном ложиться, а это не хорошо.

 

[Oldring 0]

2. Спектры функций (в смысле ПФ обобщенных функций по Колмогорову с Фоминым) синус Fh и косинус Fh отличны от нуля за пределами отрезка частот [-Fh,Fh],

 

Теперь гораздо лучше, но теперь очевидно и легко доказуемо, что ваше утверждение ошибочно. ПФ чистого синуса с частотой Fh в смысле обобщенных функций есть обобщенная функция с точечным носителем D={-Fh,+Fh}, и на всём остальном открытом множестве R-D равно нулю в смысле определения, данного на стр. 23 в книге Владимирова "обобщенные функции в математической физике" 1976 года издания. D является подмножеством отрезка [-Fh,Fh], поэтому на R-[-Fh,Fh] ПФ от рассматриваемого синуса (а равно и косинуса) равно нулю, что заканчивает опровержение вашего утверждения.

 

:laugh:

[fontp 0]

Вот и получается, что если положить, что не за пределами, а только в точках, то поимеем дело с неким неопознанным объектом в виде числа дельта-функция(0). Ну и невыполнения интеграла от дельта-функции = 1.

 

В процессе предельного перехода к дельта-функции вылазят, а в конечном положении - нет

Значит, если допускать обобщенные функции условие (1) должно быть строгое

А если условие (1) нестрогое нужно придумывать ещё и какое-то условие (2)

[Oldring 0]

К наложениям приводят.

 

Это какие же две различные положительные частоты накладываются там друг на друга, позвольте поинтересоваться? :laughing:

 

[fontp 0]

Это какие же две различные положительные частоты накладываются там друг на друга, позвольте поинтересоваться? :laughing:

 

Хвосты колокольчика, стремящегося к дельта-функции накладываются.

Если вернуться к реальной физической модели чистого синуса нет, не бывает. Это такой спектральный узенький колокольчик, который всё сильнее сжимается, превращаясь в дельта-функцию только посредством идеализма

[Oldring 0]

Хвосты колокольчика, стремящегося к дельта-функции накладываются.

Если вернуться к реальной физической модели чистого синуса нет.

 

У меня нет никакого "колокольчика". Обобщенная функция - это линейный непрерывный функционал на пространстве пробных функций, и точка! :laughing:

Если вернуться к "реальной физической модели", функций с ограниченным спектром нет.

[fontp 0]

Если вернуться к "реальной физической модели", функций с ограниченным спектром нет.

 

Это другой вопрос. Как и функций бесконечных во времени.

Обычно говорят, что можно немного отбросить и будет как надо))

Для любого "немного" когда-то найдется такое дельта и N

[Oldring 0]

Это другой вопрос, как и функций бесконечных во времени

 

Нет, это тот же самый вопрос, что и про "спектр синуса".

[729 0]

С этого места можно подробнее? Каким образом спектры этих функций становятся отличны от 0 вообще при f != +- Fh?

При работе с объктами типа дельта-функции Дирака (лучше бы с ней вообще не работать) эту самую функцию нужно всегда определять очень четко. Иначе обязательно попадется въедливый математик, который "закопает" все выводы, и будет прав.

Все спецы по анализу 3 (функциональный анализ), с которыми довелось общаться на эту тему, рассказывают про эту дельту разное - нету у них единого мнения. И в основном весь сыр-бор из-за возможности или невозможности интегрировать её в конечных пределах. Но все в один голос говорят, что если её определить через предел (в ЦОС лучше всего синка), то всё становится на свои места. И тут, как мне кажется, тот самый случай.

Посчитаем спектр радиоимпульса ограниченной длительности с частотой заполнения Fs/2, посчитаем интеграл от спектра в пределах -inf, -Fs/2. Интеграл имеет место быть и конечен. Равен (при правильной нормировке синка) примерно 1/2*1/2. При этом интеграл в приделах -inf,0 равен примерно 1/2. Загоним длительность импульса в бесконечносмть - получим предел первого интеграла точно 1/4, а второго точно 1/2. Вот и всё - половина площади того, что мы называем дельта-функция в спектре синуса или косинуса Fs/2, лежит левее Fs/2, а вторая половина правее Fs/2.

По крайней мере такой подход в данном вопросе всё ставит на свои места.

 

 

 

Теперь гораздо лучше, но теперь очевидно и легко доказуемо, что ваше утверждение ошибочно. ПФ чистого синуса с частотой Fh в смысле обобщенных функций есть обобщенная функция с точечным носителем D={-Fh,+Fh}, и на всём остальном открытом множестве R-D равно нулю в смысле определения, данного на стр. 23 в книге Владимирова "обобщенные функции в математической физике" 1976 года издания. D является подмножеством отрезка [-Fh,Fh], поэтому на R-[-Fh,Fh] ПФ от рассматриваемого синуса (а равно и косинуса) равно нулю, что заканчивает опровержение вашего утверждения.

 

:laugh:

ГДЕ у Владимирова написано, что носитель обобщенной функции есть точечное множество?