Tanya 5 January 18, 2009 Posted January 18, 2009 · Report post ТК применяется не к отсчетам, а к функциям, имеющим спектр, т.е. интегрируемым. Непрерывный синусоидальный сигнал к таковым не относится, соответственно и ТК к нему неприменима. Впрочем, если хотите, можете попрактиковаться в рисовании спектра оного синуса, тока будьте осторожны - дельта-функция уходит в бесконечность, как бы в глазик кому не ширнуть. А можно вот про это все подробнее? Что такое "имеющая спектр функция", что такое интегрируемая функция, почему синус не интегрируется... для начала. А то непонятно. Хотелось бы еще эту дежавю непрерывную перевести в дежавюшнный формат и выложить не всеобщее обозрение или осмеяние... по настроению... Quote Share this post Link to post Share on other sites More sharing options...
wim 6 January 18, 2009 Posted January 18, 2009 · Report post А можно вот про это все подробнее? Что такое "имеющая спектр функция", что такое интегрируемая функция, почему синус не интегрируется... для начала. А то непонятно. Хотелось бы еще эту дежавю непрерывную перевести в дежавюшнный формат и выложить не всеобщее обозрение или осмеяние... по настроению... Поправка принимается - абсолютная интегрируемость функции. Интеграл от модуля функции по времени от минус бесконечности до плюс бесконечности должен иметь конечную величину. Непрерывный гармонический сигнал к таковым не относится, поэтому его нельзя представить в частотной области в виде обычного спектра Фурье. 1. Я привёл формулировку ТК из учебника Баскакова. В ней же явно говорится об отсчётах. И не о функциях, а о сигналах. Сигнал, как функция времени - он является первичным. Отсчеты - результат дискретизации, т.е. процесса. Можно дискретизировать непрерывный сигнал и не зная ТК (законом не запрещено). 2. Неужели у непрерывного синусоидального сигнала нет спектра? А мужики-то не знают :) А вообще, сколько людей столько и мнений. Один говорит, что в ТК интегрирование надо делать по бесконечности, то есть синусоида(ы) должны быть непрерывны для правильного результата. Другой говорит, что непрерывные синусоиды не годятся. Вы уж друг с другом определитесь чтобы было о чём спорить. Таки не спорю, просто высказываю... Допустим, у нас синусоидальный сигнал конечной длительности, т.е. радиоимпульс. Спектр такого сигнала имеет огибающую вида sin(x)/x (симметрично относительно часто F, -F). Если увеличивать длительность импульса, ширина "лепесков" будет уменьшаться, но качественно вид спектра будет оставаться тем же. При увеличении длительности импульса до бесконечности получается качественно иной результат - спектральная плотность обнуляется везде, кроме частот -F, F, а на оных она становится равной бесконечности. Это, собственно, уже не спектр в обычном понимании, а математическая абстракция. 3. Меня в принципе не особо тревожит частота Fв/2. А под сигналом я подразумеваю сумму любых частот (просто нули тоже могут быть), пускай даже в диапазоне -Fв/2<F<Fв/2. Годится? Тогда уж не частот, а синусоидальных сигналов? Quote Share this post Link to post Share on other sites More sharing options...
rudy_b 5 January 18, 2009 Posted January 18, 2009 · Report post Вы пытаетесь влезть в дебри формализма. Для всех затронутых вопросов есть разработанные решения. Но не всегда они имеют физический смысл. Возьмем теорему Котельникова. Она говорит о ТОЧНОМ восстановлении значений функции. При частотном условии "<=" она отвечает - да, но через бесконечное время. В переводе это означает НЕТ. А вот если только "<" весьма несложно определить, за какое время вы получите ответ С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ. А без задания точности вопрос, опять же, не имеет физического смысла. Но этот вопрос уже не к теореме Котельникова. Quote Share this post Link to post Share on other sites More sharing options...
GetSmart 0 January 19, 2009 Posted January 19, 2009 (edited) · Report post ... А вот если только "<" весьма несложно определить, за какое время вы получите ответ С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ. А без задания точности вопрос, опять же, не имеет физического смысла. Можно об этом поподробней. Любой пример с заданной точностью и методом решения. Или ссылочку на него. Вся соль в деталях :) Поправка принимается - абсолютная интегрируемость функции. Интеграл от модуля функции по времени от минус бесконечности до плюс бесконечности должен иметь конечную величину. Непрерывный гармонический сигнал к таковым не относится, поэтому его нельзя представить в частотной области в виде обычного спектра Фурье. Откуда взяты эти откровения? ИМХО синусоида, особенно от минус бесконечности до плюс бесконечности является идеальным сигналом для преобразования Фурье. Результатом преобразования будет её амплитуда. Можно дискретизировать непрерывный сигнал и не зная ТК (законом не запрещено). Именно это и требуется. Дискретизировать любой сигнал (в диапазоне частот -Fв/2..+Fв/2) и потом его восстановить с максимальной точностью. Как утверждает ТК. Edited January 19, 2009 by GetSmart Quote Share this post Link to post Share on other sites More sharing options...
wim 6 January 19, 2009 Posted January 19, 2009 · Report post Откуда взяты эти откровения? ИМХО синусоида, особенно от минус бесконечности до плюс бесконечности является идеальным сигналом для преобразования Фурье. Результатом преобразования будет её амплитуда. И.С. Гоноровский. Радиотехнические цепи и сигналы. Е.И. Манаев. Основы радиоэлектроники. Результат преобразования Фурье для синусоиды от минус бесконечности до плюс бесконечности - не "амплитуда", а две дельта-функции на частотах F и -F. Собс-но дельта-функция это определение - как-то надо было назвать то, что получится при применении преобразования Фурье к функциям, для которых оно неприменимо. Именно это и требуется. Дискретизировать любой сигнал (в диапазоне частот -Fв/2..+Fв/2) и потом его восстановить с максимальной точностью. Как утверждает ТК. Не любой, а только такой, к которому применимо преобразование Фурье. Для примера - сигнал постоянного уровня. Его "спектр" - дельта-функция, расположенная на нулевой частоте, соответственно и понятия -Fв/2, +Fв/2 для него теряют смысл. Quote Share this post Link to post Share on other sites More sharing options...
scifi 1 January 19, 2009 Posted January 19, 2009 · Report post Похоже, тов. GetSmart не очень знаком с дельта-функциями. Кстати, есть вполне математически строгая теория дельта-функций и им подобных - что-то под названием "обобщённые функции" и "функционалы". Наверняка теорему Котельникова можно расширить на обобщённые функции. Тогда и случай бесконечных синусоид можно было бы рассматривать. Только оно надо? В расширенной формулировке это был бы монстр, а не теорема. А в стандартной формулировке звучит кратко и понятно. Quote Share this post Link to post Share on other sites More sharing options...
rudy_b 5 January 19, 2009 Posted January 19, 2009 · Report post Можно об этом поподробней. Любой пример с заданной точностью и методом решения. Или ссылочку на него. Вся соль в деталях. Боюсь, что пересказывать вам содержание громадного количества книг, посвященных этой теме будет слишком утомительно. Возьмите на себя труд ознакомится с ними самостоятельно, ссылок в инете много. Ключевые слова - "дискретное преобразование Фурье" и "цифровая обработка сигналов" Quote Share this post Link to post Share on other sites More sharing options...
Atridies 0 January 19, 2009 Posted January 19, 2009 · Report post Все гораздо проще. Теорема Котельникова звучит так: "Частота дискретизации должна быть НЕ МЕНЕЕ чем в 2 раза больше самой высокой частоты сигнала". Т.е. если она в 2 раза - еще не факт, что можно гарантированно восстановить. Факт в том, что при Fдискр меньше 2Fmax восстановить сигнал НЕЛЬЗЯ. Именно об этом он писал. Более того, при Fдискр=2Fmax, удовлетворительно сигнал восстановить можно только в одном случае - если Вы ведете отсчеты по пикам синусоиды. В ЛЮБОМ другом случае - будут ошибки. Крайний случай: отсчеты по нулям - 100% ошибка. Вообще, принято считать, что для удовлетворительного восстановления сигнала - частота дискретизации должна быть в 4-7 раз больше максимальной частоты в спектре. Вот так. Quote Share this post Link to post Share on other sites More sharing options...
GetSmart 0 January 19, 2009 Posted January 19, 2009 (edited) · Report post Боюсь, что пересказывать вам содержание громадного количества книг, посвященных этой теме будет слишком утомительно. Понятно. Когда речь заходит о деталях, сразу нечего сказать. Можете продолжать зубрить "громадное кол-во книг". Напоследок скажу одну весчь, о которой не писали в книжках. Точно восстановить из ограниченного количества отсчётов можно только ограниченное множество частот в диапазоне -Fв/2..0..Fв/2. То есть диапазон частот получается прерывистый. Остальные частоты будут частично искажены потому как не ортогональны друг к другу. Всё, я пошёл отсюда :) Edited January 19, 2009 by GetSmart Quote Share this post Link to post Share on other sites More sharing options...
Kompot 0 January 19, 2009 Posted January 19, 2009 · Report post Вообще, принято считать, что для удовлетворительного восстановления сигнала - частота дискретизации должна быть в 4-7 раз больше максимальной частоты в спектре. Вот так. Именно поэтому CD звук дискретизирован 44.1 KHz :rolleyes: Эээээ.. Где это так принято? Не забываем, что в исходной постановке вопроса есть существенная деталь: сигнал (или его высшая гармоника)- синусоида. Тогда для восстановления сигнала вообще достаточно знать только его амплитуду. Вот амплитуду и надо воспроизвести. А дальше - дело техники, исходная синусоида из этого отсчета получится ТОЛЬКО ПОСЛЕ соответствующего фильтра низких частот. Вы про фазу спросите? Так это совсем другая песня. Если модулируете по фазе, в сигнале появляются синусоидальные же компоненты повышенных частот. И требуемая частота дискретизации повышается. Quote Share this post Link to post Share on other sites More sharing options...
evgeny_ch 0 January 19, 2009 Posted January 19, 2009 · Report post ... ..В которой, как в пресловутой «капле воды», видна ограниченность нашего восприятия Вселенной.. :rolleyes: Попробуйте при t≠const. Quote Share this post Link to post Share on other sites More sharing options...
wim 6 January 19, 2009 Posted January 19, 2009 · Report post Теорема Котельникова звучит так: "Частота дискретизации должна быть НЕ МЕНЕЕ чем в 2 раза больше самой высокой частоты сигнала". Т.е. если она в 2 раза - еще не факт, что можно гарантированно восстановить. Факт в том, что при Fдискр меньше 2Fmax восстановить сигнал НЕЛЬЗЯ. Именно об этом он писал. Это - Ваша фантазия. В исходном варианте ТК звучит ТАК: "Любую функцию F(t) состоящую из частот от 0 до f1 , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел следующих друг за другом через 1/2f1 сек." Ее аналог - теорема Шеннона: "Если функция не содержит частот выше W гц, она полностью определяется своими мгновенными значениями в моменты, отстоящие друг от друга на 1/2W сек.” Знак равенства присутствует в обоих случаях. Quote Share this post Link to post Share on other sites More sharing options...
Jurenja 1 January 19, 2009 Posted January 19, 2009 · Report post Теоремы имеют право быть неправыми. В отличие от аксиом. Quote Share this post Link to post Share on other sites More sharing options...
wim 6 January 19, 2009 Posted January 19, 2009 · Report post Не забываем, что в исходной постановке вопроса есть существенная деталь: сигнал (или его высшая гармоника)- синусоида. Тогда для восстановления сигнала вообще достаточно знать только его амплитуду. Вот амплитуду и надо воспроизвести. А дальше - дело техники, исходная синусоида из этого отсчета получится ТОЛЬКО ПОСЛЕ соответствующего фильтра низких частот. Кое-что упустили - частоту синусоиды тоже надо восстановить. :) Quote Share this post Link to post Share on other sites More sharing options...
Designer56 1 January 19, 2009 Posted January 19, 2009 (edited) · Report post Это - Ваша фантазия. В исходном варианте ТК звучит ТАК: "Любую функцию F(t) состоящую из частот от 0 до f1 , можно непрерывно передавать с любой точностью при помощи чисел следующих друг за другом через 1/2f1 сек." Ее аналог - теорема Шеннона: "Если функция не содержит частот выше W гц, она полностью определяется своими мгновенными значениями в моменты, отстоящие друг от друга на 1/2W сек.” Знак равенства присутствует в обоих случаях. У Баскакова теорема Котельникова высказывается так: " Произвольный сигнал, спектр которого не содержит частоты выше fв, Гц, может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени 1/(2fв) сек." У Гоноровского тоже речь идет о конечном спектре. О конечном числе отсчетов речи нет. Функция, состоящая из частот- мало понятно, для меня, во всяком случае. Edited January 19, 2009 by Designer56 Quote Share this post Link to post Share on other sites More sharing options...
