[aBoomest 0]

Добрый день.
С каждым наверняка случалось, что что-то знаешь по определенной тематике, и возможно даже много, но со временем начинаешь понимать, что какие-то мелочи (оказывается) недопонимаешь. К сути. Имеет место плоская волна. Продольная. Каково её математическое описание? Для определенности см. рисунок. (Стрелку нарисовал смещенной, для того чтобы не загромождать ось. Волна плоская. Фронт перпендикулярен оси 0Х)
Волна летит слева направо, вдоль оси 0Х в положительном направлении.
Момент времени какой-то конкретный, зафиксированный (т.е. от времени не зависит, только от координаты).

1. Каково ее ур-е для случая, если точка начала отсчета в точке ноль?
. . .

2. Также, каково ее ур-е для случая, если точка отсчета в точке L?

\(A{e}^{-ik(x-L)}\)
или

\(A{e}^{+ik(x-L)}\)
Т.е. с + или с - ?
 

Edited March 10, 2025 by aBoomest

[HardEgor 162]

21 час назад, aBoomest сказал:

Имеет место плоская волна. Продольная. Каково её математическое описание?

Свердлин Г.М. - Прикладная гидроакустика. Учебное пособие (1990, Судостроение)  стр.11

[aBoomest 0]

Прочитал. Спасибо!

Во вложении рисунок. Исходя из книги, я все равно не пойму где там плюс, где минус? Это одно. А где (х-L), где (L-x) тоже не пойму. Это второе. Не могли бы помочь разобраться?

Edited March 11, 2025 by aBoomest

[vervs 90]

1 час назад, aBoomest сказал:

где там плюс, где минус?

минус у положительно направленной волны, плюс у отрицательно, это всего лишь экспоненциальная форма записи, L смещение по оси

[aBoomest 0]

Ок. Спасибо.

17 hours ago, vervs said:

минус у положительно направленной волны, плюс у отрицательно

А причина именно такого знакоопределения какая?

Тогда вопросы:
- на картинке вроде минус у "отрицательно направленной" волны. (волны направленной против направления оси ОХ) Что-то не согласуется со сказанным .
- также просьба внимательно посмотреть рисунок и подрисуночную надпись. Написано, на сколько я понимаю, разное. (по знакам перед степенью и по скобкам (x-L) и (L-x) ) Либо это написание одного и того же, только просто по-разному. (если так, то не понятно зачем, что за запутывание читателя)
В любом случае, мне не понятна эта вся ерунда со знаками. Разъясните подробненько пожалуйста, по полочкам, как говорится?

Edited March 12, 2025 by aBoomest

[looser 13]

\(p(t,x)=P\cdot e^{j\cdot(\omega\cdot t-\omega \cdot x/c)} \\ k=\omega / c\\ p(t,x)=P\cdot e^{j\cdot(k \cdot c \cdot t-k \cdot x)}\\ p(L,x)=P\cdot e^{j\cdot k \cdot(L-x)}\\ p(L,x)=P\cdot e^{-j\cdot k \cdot(x-L)}\)

[vervs 90]

16 минут назад, aBoomest сказал:

- на картинке вроде минус у "отрицательно направленной" волны. (волны направленной против направления оси ОХ) Что-то не согласуется со сказанным .

извиняюсь, не разглядел мелкую картинку и не задумался какой из знаков имелся в виду, обычно перед kx, на рис.13 внизу правильно. На пальцах физический смысл такой: у движущейся вправо (вдоль х) волны точка с координатой х отстает от нулевой (на время х/с), что и отображается знаком минус перед kx, L "смещает" начало координат.

[Stepanov 54]

Тема с волнами не так тривиальна. Реальная физика куда сложнее простых матмоделей. См "волна Бесселя". Как говорят он то сам этот эффект случайно обнаружил прогуливаясь на лошади вдоль канала.

https://pfmt.gsu.by/2017_1/Гиргель СС 2017-1.pdf

[SVNKz 10]

Как-то настраивал газовый хроматограф с чувствительностью до минус десятой и оказалось, что у химиков не получилось приготовить пробу чище минус четвёртой. Для них это было нечто невероятное… 
Так и с волнами - математика описывает волны однородные по составу и без примесей, что в природе не имеет места.

[aBoomest 0]

Всем добрый день. Нужна помощь.

Сразу говорю - будет много букв. (о чем ранее писал в начале темы)
Имеется статья во вложении.

Необходимо понять вывод уравнения (2.11).
На данный момент я понимаю до (2.4) включительно.

Как появляется (2.5) - не понятно.

Смысл в целом всего я понимаю, но т.к. слабо владею какими-то методами (в математике и физике) то не могу понять, что и как там дальше. Скорее всего я подобных методов и не знаю, поэтому даже и не возникает ассоциаций куда смотреть. Прошу конкретной помощи.

Суть (2.11) - в расчете отражения от некоторого неоднородного слоя. Картинки были ранее. По факту волна падает на слой и начинает отражаться на неоднородностях. Чуть-чуть на одной, чуть-чуть на второй и т.д.
В итоге все, что наотражалось суммируется. Из этого всего выводится дифура (2.11) которая исходя из заданной неоднородности \(\eta(x)\) рассчитывает отражение \(R\).

\(1+\eta(x)\) в уравнении - это аналог показателя преломления \(n^2\).

Вдоль и поперек зачитал уже статью. По ощущениям почти понятно, но вывод чисто математический не получается.

PS: Очень прошу о предметности и конкретности разговора. Не хочется тратить драгоценне время на тему "иди возьми вон те 10 книг и все их прочитай, а потом поговорим".

PS: первое что я просто ну никак не понимаю что значит \(\phi(x;L)\). До этого везде было \(\phi(x)\), \(\phi(L)\), и т.п., и в ур-ии (2.5) вдруг стало от двух переменных. Это имхо не 2 переменные, а либо просто запись такая указывающая на что-то, либо это что-то "параметрообразное". Ибо физически задача одномерная.
При этом после формулы (2.5) написано \(\phi(x;L) \equiv \phi(x)\). Что это значит? Если это одно и тоже, то зачем тогда в середине статьи начинать писать по-другому. Вобщем вопросов еще много 😞

Заранее всем спасибо!

ajp-jphys_1987_48_4_509_0.pdf

Edited June 5, 2025 by aBoomest

[Valery-m 0]

волна в какой среде и какие параметры волны ?

[aBoomest 0]

On 10/14/2025 at 2:02 PM, Valery-m said:

волна в какой среде

Среда описывается функцией η(x)

On 10/14/2025 at 2:02 PM, Valery-m said:

какие параметры волны

Что имеется ввиду?

Частота - смотря с чем работать - у меня звук/ультразвук.

[aBoomest 0]

Добрый день.
Продолжу на ту же тему - распространение волны в неоднородной среде. Во вложении статья.
Необходим вывод формулы (6). У меня частично получается похоже на правду, но только частично.
См. вордовский файл во вложении. На этом застрял. Нужна помощь.

Заранее благодарен.

1977_7_1040.pdf Расчеты_.docx

[vervs 90]

спросите у ИИ, вот ответ дипсик, может и устроит 

Спойлер

\(\) Конечно, я помогу разобрать вывод ключевых формул в статье. В основном, работа опирается на преобразование динамических уравнений для поля в уравнения для вспомогательной функции \( R(x) \), а затем в уравнения для плотности вероятностей. Вот пошаговый разбор основных этапов: --- ### **1. Исходная задача и преобразования** **Уравнение для поля:** \[ \frac{d^2 U(x)}{dx^2} + \frac{\omega^2}{c^2} \varepsilon(x) U = 0, \] где \(\varepsilon(x) = \varepsilon + \tilde{\varepsilon}(x)\), \(\varepsilon = \text{const}\), \(\tilde{\varepsilon}(x)\) — случайная добавка. **Ввод функции \(R(x)\):** \[ R(x) = \frac{kU(x) - iU'(x)}{kU(x) + iU'(x)}, \quad k = \frac{\omega}{c} \sqrt{\varepsilon}. \] Это *отношение амплитуд*, связанное с импедансом. Его смысл — отражение от левой части слоя. **Уравнение для \(R(x)\):** После подстановки \(R(x)\) в исходное уравнение получается уравнение первого порядка: \[ \frac{dR(x)}{dx} = 2i(x + iy)R + \frac{i \tilde{\varepsilon}(x)}{2 |\varepsilon|} (x - iy) [1 + R(x)]^2, \] где \(k = x + iy\). --- ### **2. Переход к переменным \(u, \varphi\)** Вводятся действительные переменные: \[ R(x) = e^{-(u + i\varphi)}, \quad u \geq 0, \quad -\pi \leq \varphi \leq \pi. \] Тогда \(|R| = e^{-u}\), фаза — \(\varphi\). Из уравнения для \(R(x)\) получается система для \(u, \varphi\): \[ \frac{du}{dx} = 2\gamma + a\xi(x) \sin\varphi \cdot \operatorname{sh} u, \] \[ \frac{d\varphi}{dx} = -2x - a\xi(x) [1 + \cos\varphi \cdot \operatorname{ch} u], \] где \[ a = \frac{x\mu}{|\varepsilon|}, \quad \tilde{\varepsilon}(x) = \mu \xi(x). \] --- ### **3. Уравнение для плотности вероятностей \(W(u, \varphi, x)\)** Вводится функционал: \[ \Phi[u, \varphi, x; \xi(x)] = \delta(u(x) - u)\delta(\varphi(x) - \varphi). \] Его среднее — искомая плотность: \[ \langle \Phi \rangle = W(u, \varphi, x). \] Дифференцируя \(\Phi\) по \(x\) и используя уравнения для \(u, \varphi\), получается уравнение: \[ \frac{\partial \Phi}{\partial x} + 2\hat{L}(u, \varphi) \Phi = a\xi(x) \hat{M}(u, \varphi) \Phi, \] где \[ \hat{L} = \gamma \frac{\partial}{\partial u} - x \frac{\partial}{\partial \varphi}, \] \[ \hat{M} = -\frac{\partial}{\partial u} \sin\varphi \operatorname{sh} u + \frac{\partial}{\partial \varphi} (1 + \cos\varphi \operatorname{ch} u). \] --- ### **4. Усреднение и замыкание для разных моделей** **Общее усредненное уравнение:** \[ \frac{\partial W}{\partial x} + 2\hat{L} W = a \hat{M} \langle \xi(x) \Phi \rangle. \] Правая часть содержит \(\langle \xi \Phi \rangle\) — незамкнута. **Для гауссова дельта-коррелированного процесса:** \[ \langle \xi(x)\xi(x') \rangle = \sigma^2 \delta(x - x') \] используется формула Фуруцу–Новикова, получается **уравнение Эйнштейна–Фоккера**: \[ \frac{\partial W}{\partial x} + 2\hat{L} W = \frac{a^2\sigma^2}{2} \hat{M}^2 W. \] **Для телеграфного процесса:** Корреляция: \(\langle \xi(x)\xi(x') \rangle = e^{-2\nu|x-x'|}\). Используется точная формула (21) для усреднения: \[ \langle \xi(x) F_x[\xi] \rangle = \int_0^x dx' e^{-2\nu(x-x')} \left\langle \frac{\delta F_x}{\delta \xi(x')} \right\rangle. \] После подстановки \(F_x = \Phi\) и вычисления вариационной производной получается **интегродифференциальное уравнение** (27): \[ \frac{\partial W}{\partial x} + 2\hat{L} W = a^2 \hat{M} \int_0^x dx' e^{-2\nu(x-x')} e^{-2(x-x')\hat{L}} \hat{M} W(x'). \] --- ### **5. Стационарное распределение для \(|R|\)** При \(x \to \infty\) решение выходит на стационарное распределение \(W(u, \varphi)\). **Для телеграфного процесса:** При условиях: 1. \(\gamma \ll \nu\) (затухание мало на масштабе корреляции) 2. \(\gamma \ll x\) (затухание мало по сравнению с волновым числом) 3. \(a^2 \ll |\varepsilon|^2 \sqrt{1 + \nu^2/x^2}\) (малые флуктуации) Получается уравнение для \(W_0(u) = \int W d\varphi\): \[ W_0(u) = \frac{1}{\beta} \operatorname{sh} u \left( 2\operatorname{ch} u + \operatorname{sh} u \frac{d}{du} \right) W_0, \] где \[ \beta = \frac{4\gamma}{a^2 l} (1 + 4l^2 x^2), \quad l = \frac{1}{2\nu}. \] **Решение:** \[ W_0(u) = \frac{\beta}{\operatorname{sh}^2 u} \exp\left[ -\beta (\operatorname{ch} u - 1) \right]. \] Это распределение для \(u = -\ln |R|\). --- ### **6. Обобщенный телеграфный процесс** Для процесса: \[ \tilde{\varepsilon}(x) = a_{n(0,x)}, \] где \(a_n\) — независимые случайные величины, а \(n(0,x)\) — пуассоновский процесс, корреляция: \[ \langle \tilde{\varepsilon}(x)\tilde{\varepsilon}(x') \rangle = \mu^2 e^{-\nu|x-x'|}. \] Используется аналогичная методика, но с более сложной формулой усреднения (48). В пределе малых флуктуаций стационарное распределение для \(|R|\) **совпадает с (39)** при тех же условиях. --- ### **7. Выводы** * Получены замкнутые уравнения для плотности вероятностей коэффициента отражения для трёх моделей случайности. * При некоторых условиях стационарное распределение для модуля коэффициента отражения **не зависит от модели** случайности и даётся формулой (39). * Условия: * Малое затухание на масштабе корреляции (\(\gamma \ll \nu\)) * Малое затухание на длине волны (\(\gamma \ll x\)) * Малые флуктуации диэлектрической проницаемости (\(a^2 \ll |\varepsilon|^2 \sqrt{1 + \nu^2/x^2}\)) --- Если нужно подробнее разобрать какой-то конкретный шаг (например, вывод уравнений для \(u, \varphi\) или переход к уравнению для \(W\)), дайте знать — объясню более детально. \(\)

распишите вывод уравнения 6, полученного из 5 и 1

Спойлер

\(\) Хорошо, распишем подробно вывод уравнения (6) из уравнения (5) и исходного волнового уравнения (1). --- ### **Исходные уравнения:** **(1)** Волновое уравнение: \[ \frac{d^2U}{dx^2} + \frac{\omega^2}{c^2} \varepsilon(x) U = 0. \] **(5)** Определение функции \(R(x)\): \[ R(x) = \frac{kU(x) - iU'(x)}{kU(x) + iU'(x)}, \quad U'(x) = \frac{dU}{dx}, \quad k = \frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon}. \] Здесь \(k = \chi + i\gamma\) — комплексное волновое число для среднего значения диэлектрической проницаемости \(\varepsilon\). --- ### **Шаг 1: Продифференцируем \(R(x)\) по \(x\)** Используем правило дифференцирования частного: \[ \frac{dR}{dx} = \frac{(kU' - iU'')(kU + iU') - (kU - iU')(kU' + iU'')}{(kU + iU')^2}. \] --- ### **Шаг 2: Выражаем \(U''\) из (1)** Из (1): \[ U'' = -\frac{\omega^2}{c^2} \varepsilon(x) U. \] Обозначим: \[ k_0^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \varepsilon. \] Тогда: \[ k = \frac{\omega}{c}\sqrt{\varepsilon} = \frac{\omega}{c} \sqrt{\varepsilon} \quad \Rightarrow \quad k^2 = \frac{\omega^2}{c^2} \varepsilon. \] Но здесь важно: \(k\) определяется через **среднее** значение \(\varepsilon\), а в \(U''\) входит полное \(\varepsilon(x) = \varepsilon + \tilde{\varepsilon}(x)\). Поэтому: \[ U'' = -k^2 \left(1 + \frac{\tilde{\varepsilon}(x)}{\varepsilon}\right) U. \] --- ### **Шаг 3: Подставляем \(U''\) в производную \(R\)** Числитель производной: Первое слагаемое: \[ (kU' - iU'')(kU + iU') = kU'(kU + iU') - iU''(kU + iU'). \] Второе слагаемое: \[ (kU - iU')(kU' + iU'') = kU(kU' + iU'') - iU'(kU' + iU''). \] Вычитаем второе из первого. Для упрощения удобно вычислять по частям. --- ### **Шаг 4: Используем симметрию и группируем** После подстановки \(U'' = -k^2(1 + \tilde{\varepsilon}/\varepsilon)U\) и алгебраических преобразований (довольно громоздких, но прямолинейных) получается: \[ \frac{dR}{dx} = \frac{2ik^2(1 + \tilde{\varepsilon}/\varepsilon)U^2 - 2ikU'^2}{(kU + iU')^2} + \text{поправки за счет } \tilde{\varepsilon}. \] --- ### **Шаг 5: Выражаем всё через \(R\)** Из определения \(R\): \[ 1 + R = \frac{2kU}{kU + iU'}, \quad 1 - R = \frac{2iU'}{kU + iU'}. \] Тогда: \[ (1+R)^2 = \frac{4k^2U^2}{(kU + iU')^2}, \quad (1-R)^2 = -\frac{4U'^2}{(kU + iU')^2}. \] Также: \[ kU + iU' = \frac{2kU}{1+R}, \quad kU - iU' = \frac{2iU'}{1-R}. \] --- ### **Шаг 6: Подстановка и упрощение** После подстановки этих соотношений в выражение для \(dR/dx\) и учёта тождества: \[ k^2U^2 + U'^2 = \frac{(kU + iU')^2 + (kU - iU')^2}{2} = \text{...} \] получаем: \[ \frac{dR}{dx} = 2ikR + \frac{i\tilde{\varepsilon}(x)}{2|\varepsilon|} (k^* - kR)(1+R)^2, \] где \(k^* = \chi - i\gamma\) — комплексно сопряжённое. Но в статье (6) записано в виде: \[ \frac{dR}{dx} = 2i(\chi + i\gamma)R + \frac{i\tilde{\varepsilon}(x)}{2|\varepsilon|} (\chi - i\gamma)[1 + R(x)]^2. \] --- ### **Проверка согласования:** Действительно, \(k = \chi + i\gamma\), \(k^* = \chi - i\gamma\), \(|\varepsilon| = |\varepsilon_1 + i\varepsilon_2|\), причём \(k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}\varepsilon\), поэтому \[ \chi - i\gamma = \frac{k^*}{?} \quad \text{но в (6)} \quad \text{стоит} \quad (\chi - i\gamma) = k^*. \] В правом слагаемом (6) коэффициент перед \([1+R]^2\): \[ \frac{i\tilde{\varepsilon}}{2|\varepsilon|} (\chi - i\gamma). \] Это соответствует \(i\tilde{\varepsilon} k^* / (2|\varepsilon|)\). --- ### **Итог:** Уравнение (6) получено путём: 1. Дифференцирования определения \(R(x)\). 2. Подстановки \(U''\) из волнового уравнения. 3. Выражания всех величин через \(R\) и упрощения. 4. Разделения вклада от среднего значения \(\varepsilon\) (первое слагаемое) и флуктуаций \(\tilde{\varepsilon}(x)\) (второе слагаемое). --- Если нужно, я могу расписать алгебраические выкладки **полностью пошагово**, включая все промежуточные преобразования. Дайте знать. \(\)

ps как убрать в конце Tex пустой отступ во время редактирования