Перейти к содержанию
    

Можно ли вычислить интеграл? Где посмотреть?

Если я не ошибаюсь, то интеграл sin x/x^2, не должен сходиться в окрестности 0. Соответственно H(0) неопределено.

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

Если я не ошибаюсь, то интеграл sin x/x^2, не должен сходиться в окрестности 0. Соответственно H(0) неопределено.

Похоже. Ну, положим, там дельта - функция. А на остальной оси?

 

Да. Но как его брать?

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

Да. Но как его брать?

ЕМНИП, через вычеты.

 

У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться теоремой Коши.

 

Метод такой:

 

Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω.

 

По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции.

 

Вычет в точке x = 0 равен нулю.

 

Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω.

 

Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно.

 

Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x2, оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю.

 

Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно.

 

Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить.

 

В итоге получаете:

 

ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω.

 

Если ничего не напутал.. :biggrin:

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

ЕМНИП, через вычеты.

 

У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться теоремой Коши.

 

Метод такой:

 

Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω.

 

По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции.

 

Вычет в точке x = 0 равен нулю.

 

Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω.

 

Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно.

 

Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x2, оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю.

 

Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно.

 

Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить.

 

В итоге получаете:

 

ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω.

 

Если ничего не напутал.. :biggrin:

Идея понятна.

Есть тут неприятность: теорема о вычетах требует, чтобы на контуре интегрирования не было полюсов - а они как раз на действительной оси.

Нас интересует интеграл вдоль действительной оси - это должно быть нижней стороной контура при обычном обходе против часовой стрелки.

Другие стороны (будь то прямоугольник или пол-окружности) должны быть бесконечно удалены от 0. Метод работает, если подинтегральная функция комплексного аргумента стремится по модулю к 0 при стремлении к бесконечности модуля комплексного аргумента.

И здесь вторая трудность: |sin()| комплексного аргумента неограниченно растет при увеличении мнимой части - превращаясь в sh(). Хорошее предположение об ограниченности подинтегральной функции нарушается.

 

И еще одно. Получилось, что преобразование Гильберта от sinc() есть та же самая sinc(). Тогда комплексная огибающая sinc() - тоже sinc()? Не очень похоже на правду.

 

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

И еще одно. Получилось, что преобразование Гильберта от sinc() есть та же самая sinc(). Тогда комплексная огибающая sinc() - тоже sinc()? Не очень похоже на правду.

Ну, там со сменой направления интегрирования не все так просто, как выяснилось.. ;)

 

И здесь вторая трудность: |sin()| комплексного аргумента неограниченно растет при увеличении мнимой части - превращаясь в sh(). Хорошее предположение об ограниченности подинтегральной функции нарушается.

Экспоненциальный рост функции sin(x) при x -> 0±i*∞ при указанном выше пути интегрирования нас, вроде, волновать не должен.

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

В итоге получается так:

 

 

UPD: Исправил ошибки.. :biggrin:

 

То есть, искомый интеграл равен:

 

I(ω) = pi*[1- cos(ω)]/ω.

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

Если w -> Real ,то не сходится

Всё там сходится, для значений "ω" не равных тождественно нулю.

 

PS. Кстати, формула, похоже, верна и в точке ω = 0.

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

Всё там сходится, для значений "ω" не равных тождественно нулю.

 

Для такого y = inline ("sin(x)/x/(3-x)");

[q, ier, nfun, err] = quad (y,-1000000000., 1000000000.)

Октава выдала ABNORMAL RETURN FROM DQAGP

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

Октава выдала ABNORMAL RETURN FROM DQAGP

А она умеет вычислять главное значение интеграла по Коши?

 

PS. Кстати, в английской версии Wiki есть табличка с готовыми формулами для преобразования Гильберта sinc-функции.

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

В итоге получается так:

 

 

UPD: Полученный результат таки нужно поделить на два, так как путь интегрирования проходит через оба полюса.

 

То есть, искомый интеграл равен:

 

I(ω) = [1+ cos(ω)]/[2*ω].

 

Не правильно.

 

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

Присоединяйтесь к обсуждению

Вы можете написать сейчас и зарегистрироваться позже. Если у вас есть аккаунт, авторизуйтесь, чтобы опубликовать от имени своего аккаунта.

Гость
Ответить в этой теме...

×   Вставлено с форматированием.   Вставить как обычный текст

  Разрешено использовать не более 75 эмодзи.

×   Ваша ссылка была автоматически встроена.   Отображать как обычную ссылку

×   Ваш предыдущий контент был восстановлен.   Очистить редактор

×   Вы не можете вставлять изображения напрямую. Загружайте или вставляйте изображения по ссылке.

×
×
  • Создать...