Jump to content

    
Sign in to follow this  
MaxBMSTU

Разложение фунции

Recommended Posts

Как можно выполнить разложение функции на Гауссы в заданном диапазоне [a,b].

Функция Гаусса Gauss(x,m,s)=1/(sqrt(2*Pi)*s)*exp(-(x-m)^2/(2*s^2)).

Ряд должен иметь следующую форму:

F(x)=A00+sum(sum(Aij*Gauss(x,m0+dm*i,s0+ds*j),i=0..N),j=0..M),

Причём m0,dm,N,s0,ds,M заданы и конечны. Aij - амплитуды, которые необходимо найти. Как можно выполнить такое разложение?

Share this post


Link to post
Share on other sites
Как можно выполнить разложение функции на Гауссы в заданном диапазоне [a,b].

Функция Гаусса Gauss(x,m,s)=1/(sqrt(2*Pi)*s)*exp(-(x-m)^2/(2*s^2)).

Ряд должен иметь следующую форму:

F(x)=A00+sum(sum(Aij*Gauss(x,m0+dm*i,s0+ds*j),i=0..N),j=0..M),

Причём m0,dm,N,s0,ds,M заданы и конечны. Aij - амплитуды, которые необходимо найти. Как можно выполнить такое разложение?

 

А разве Гаусс образует ортогональную систему?

Share this post


Link to post
Share on other sites
А разве Гаусс образует ортогональную систему?

Конечно же нет. Если бы образовывал, то и вопросов не возникло, по принципу ряда Фурье определялись коэффициенты. В этом и вся изюминка, что ортогональной системы нет. А с точки зрения математики я не знаю, можно ли доказать невозможность такого разложения. К примеру при ортогональной системе ядром является интегрирование, т.е. поиск коэффициентов взятием интеграла от функции с обнулением ортогональных произведений. Почему бы к Гауссианам не применить другое ядро, например ядро дифференцирования или более сложное - алгоритмическое. Нужны идеи по этому вопросу.

Share this post


Link to post
Share on other sites
i=0..N),j=0..M)...m0,dm,N,s0,ds,M заданы и конечны

Так и не в ряд, судя по заданию разложить надо, а апроксимировать функцию суммой Гауссоид. Метод наименьших квадратов пробовали?

Share this post


Link to post
Share on other sites

А что вы ядром называете?...

 

Через интегрирование задается скалярное произведение в соответствующем пространстве функций.

Если хотите ракладывать по гаусианам, то надо задать скалярное произведение и показать, что система гаусианов является базасом.

 

А вообще лучше этот вопрос задайте на каком-нить математическом форуме. Например, на форуме мехмата МГУ (www.mathforum.ru)

Share this post


Link to post
Share on other sites
А что вы ядром называете?...

 

Интегрировать Гауссы нельзя, так как при небольшом сдвиге по оси абсцисс одного и того же Гауссиана на величины, сравнимые с сигмой, интеграл от произведения не то, чтобы ноль давать не будет, а вообще, получится величина, сравнимая с интегралом от взятого Гауссиана. Поэтому одной из идей было применение производной. Дескать увеличение порядка производной позволит различить сначала Гауссианы с наименьшей сигмой, затем после их компенсации из основного сигнала, Гауссианы с сигмой большей величины и т.д. Но во-первых, так и не получены нормальные результаты разложения даже идеальных функций, а во-вторых, при реализации каждый процесс дифференцирования будет усиливать шумы сигнала, а если применять сглаживание перед дифференцированием, то после 4-5-ой производной будем дифференцировать не сигнал, а неизвестно что.

По поводу применения МНК: можно в Maple получить аналитическую формулу километровой длины, вопрос насколько она будет чувствительна к помехам, т.е. как сильно изменится решение при небольших отклонениях в данных. Это я ещё не анализировал, занимаюсь реализацией этой идеи в настоящее время. Поэтому если есть какие-либо соображения по данному вопросу - с удовольствием выслушаю.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Ваше разложение в ряд является решением интегрального или диф. уравнения? Если да, то применение МНК может быть элегантным.

По чувствительности к помехам - это зависит только от функции, для нивелирования можно применить МНК с лагранжевой добавкой (запамятовал как это корректно называется). В этой добавке можно усилить требование на сходимость.

Share this post


Link to post
Share on other sites

У вас, значит, не ряд, а конечная сумма все-таки. Следовательно, произвольную функцию вы можете только аппроксимировать, но не разложить (разложение - это точное равенство между функцией и рядом или суммой). Нет смысла искать скалярное произведение, тем более что через производную вы его точно не определите.

 

МНК тут тоже не подходит, т.к. применим лишь для аппроксимации в конечном числе точек. Можете взять конкретные отсчеты F(x): F(k) в точках Xk и применить МНК.

 

А если строго следовать вашей постановке задачи, то надо сначала выбрать норму, в которой будете аппроксимировать. Равномерная норма: ||f(x)||=max(|f(x)|), интегральная:

||f(x)||=int(|f(x)|*dx) и т.д. Тогда амплитуды Aij выбираете из условия минимизации некоторой нормы разности между исходной функцией и суммой гаусоид.

 

Интересно что именно и как вы сейчас реализовываете?

... и почему именно гаусоиды?

Share this post


Link to post
Share on other sites
Интересно что именно и как вы сейчас реализовываете?

Вот именно. Мне сейчас кажется, что исходно это был вопрос на смекалку (или на засыпку) -

ряд не ряд, поточечная норма или интегральная, а все равно задача принадлежит к классу

некорректно поставленных - с вполне непрерывным оператором. И решать её надо соответствующим

способом, с применением регулязатора, и самое трудное - этот регулязатор построить.

Метод (т.е. регулязатор) Тихонова хорош для объяснения теории, но на практике он

хорошего решения не даст.

 

Гауссианы - я думаю, потому что где-то намеряли несколько пиков, которые друг на друга

налезают (я ещё видел, когда друг под другом сидят!) и не знают теперь что делать, нужно

разделить. А нужно спросить очень толкового математика-численника и регуляризировать

на основе всего, что известно apriori.

Я, в общем, из вышесказанного просил картинку показать.

 

Вот навскидку, пример некорректной задачи, система линейных уравнений:

 

2x + 3y = 4

4x + 6y = e

 

Очевидно что решения нет, потому что детерминант ноль, но в численных методах такое

бывает - намеряли коеффициентов для плохо обусловленной матрицы, она "слегка"

выродилась, а решение считать все равно надо. Обычно берут минимум нормы, или

сдвигом собственных чисел.

 

Over'n'out

--

AN

Share this post


Link to post
Share on other sites

Давным-давно это было. Некую экспериментальную кривую раскладывала на еще более неприятные части. Известно (предполагалось), что в суммарном (экспериментальном) "спектре" имеется несколько компонент с известным спектром. Подход был такой. Методом наименьших квадратов (с весами) находилось наилучшее разложение для двух компонент, потом, стартуя из этой точки, добавлялась еще одна, потом еще... Потом в исходный спектр добавлялся шум... многократно. Определялся доверительный интервал для параметров функции распределения компонентов. Легко обмануться... Задача в общем виде плохоопределенная. Можно моделировать, создавая искусственный спектр с шумами. Долго все это... и нудно.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Join the conversation

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Guest
Reply to this topic...

×   Pasted as rich text.   Paste as plain text instead

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.

Sign in to follow this