Jump to content

    
Sign in to follow this  
AlexZabr

Интеграл

Recommended Posts

Буду благодарен за помощь в решении интеграла (в присоединенном файле).

Решение по идее должно содержать интеграл от Vin(t) (как описано в файле) (т.е. функция Vin(t) неизвеста, но достаточно присутствие ее интеграла в решении первичного интеграла).

Integral.doc

Share this post


Link to post
Share on other sites
Сорри, файл не присоединился....

 

Сейчас присоединил.

 

Спасибо.

 

А собственно что требуется?

Численным методом проинтегрировать написанный Вами интеграл в заданных пределах при произвольной функции V(t)? Или вам нужно общее рещение для какого-то узкого вида функций V(t)?

Share this post


Link to post
Share on other sites
А собственно что требуется?

Численным методом проинтегрировать написанный Вами интеграл в заданных пределах при произвольной функции V(t)? Или вам нужно общее рещение для какого-то узкого вида функций V(t)?

 

Да, нужно общее решение (вид) в виде интеграла V(t), а так-же путь решения..

Численным ? У него нет аналитического решения ?

Share this post


Link to post
Share on other sites
Да, нужно общее решение (вид) в виде интеграла V(t), а так-же путь решения..

Численным ? У него нет аналитического решения ?

 

И для численного и для аналитического решения нужно знать класс функции V(t) иначе дальше приведенной Вами записи никак не пройдешь.

 

Численное решение - черевато объемными вычисленими и требует, чтобы V(t) не имела особых точек...

Ну к примеру численно с приемлемой точностью вы не получите результат Интеграл(tg(t)), т.к. тангенс ула имеет разрыв при t=90 градусов... Имеется ввиду что вы будете его интегрировать как раз вблизи t=90 градусов...

 

С другой стороны - аналитически интеграл от тангенса имеет точное формульное решение...

 

В общем надо точно представлять класс функций, которые вы собираетесь интегрировать - либо численно, либо аналитически. В общем случае поставленная Вами задача не решается...

 

Есть такие классические способы более-менее быстрого численного интегрирования как:

  • метод Рунге-Кутта
  • метод Эйлера
Попробуйте начать с них, но все-таки уточните лучше сперва к какому классу функций относсится ваша V(t) - иначе врядли вы получите осмысленный результат. Вы же никак не определили пока что класс функции V(t) - потому как можно сказать имеет она аналитическое решение или не имеет?
Edited by Николай Z

Share this post


Link to post
Share on other sites
Да, нужно общее решение (вид) в виде интеграла V(t), а так-же путь решения..

Численным ? У него нет аналитического решения ?

 

Интегрируйте по частям. Это неопределенные интегралы.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Спасибо.

По частям пробовал уже - не получил точного решения. Крутишься вокруг да около, но не приходишь в решению.

Я принципе мне достаточно решения где будет интеграл V(t), т.е. скажем для общей функции V(t). Тогда, зная конкретно-заданую V(t) получаем конечное решение.

 

Вообщем на данный момент, V(t) представляет собой сигнал прямоыгольных pulse train с определеной частотой и duty cycle.

Share this post


Link to post
Share on other sites
По частям пробовал уже - не получил точного решения. Крутишься вокруг да около, но не приходишь в решению.

 

Вы как-то не так сформулировали задачу.

Если речь идет про неопределенные интегралы, как у Вас написано - то по частям тривиально. Правда, там будет справа требуемый неопределенный интеграл в частности под другим неопределенным интегралом.

 

Если все-таки речь идет о выражении решения как функции от определенного интеграла от Vin с бесконечными пределами - то, очевидно, такое решение не существует. Рассмотрите Vin - дельта-функцию в какой-то координате времени. Тогда от изменения её положения интеграл от Vin не изменяется и любая функция от него будет оставаться постоянной. Но значение исходного интеграла, очевидно, при этом изменяется - если только a не равно 0.

Share this post


Link to post
Share on other sites
Вы как-то не так сформулировали задачу.

Если речь идет про неопределенные интегралы, как у Вас написано - то по частям тривиально. Правда, там будет справа требуемый неопределенный интеграл в частности под другим неопределенным интегралом.

 

Если все-таки речь идет о выражении решения как функции от определенного интеграла от Vin с бесконечными пределами - то, очевидно, такое решение не существует. Рассмотрите Vin - дельта-функцию в какой-то координате времени. Тогда от изменения её положения интеграл от Vin не изменяется и любая функция от него будет оставаться постоянной. Но значение исходного интеграла, очевидно, при этом изменяется - если только a не равно 0.

 

Наснем с начала:

речь идет о простой цепочке RC (LPF) при том что Vin(t) подается на один конец резистора, Vo(t) сниаместя с конденсатора. Решая дифф. уравнение (уравнение первой степени) сей цепочки, под конец получил такой интеграл к решению.

Vin(t) в данном случае есть train прямоугольных пульсов с данной частотой и duty cycle.

Вы имеет ввиду наверно что решение может быть для конкретрного случая только, т.е. под конкретный Vin(t) и в заданных пределах, так ? Но не ввиде закрытого бесконечного интеграла Vin(t) ?

Share this post


Link to post
Share on other sites
Вы как-то не так сформулировали задачу.

Если речь идет про неопределенные интегралы, как у Вас написано - то по частям тривиально. Правда, там будет справа требуемый неопределенный интеграл в частности под другим неопределенным интегралом.

 

Если все-таки речь идет о выражении решения как функции от определенного интеграла от Vin с бесконечными пределами - то, очевидно, такое решение не существует. Рассмотрите Vin - дельта-функцию в какой-то координате времени. Тогда от изменения её положения интеграл от Vin не изменяется и любая функция от него будет оставаться постоянной. Но значение исходного интеграла, очевидно, при этом изменяется - если только a не равно 0.

 

У него в одном месте определенный интеграл, а в другом - нет...

Неопределенный интеграл - это не для численных методов...

Я его понял так - что интегралы у него с заданными пределами - т.е. определенные...

По частям - это классика, которая работает далеко не всегда...

 

Чаще всего некоторого успеха можно достичь, если функцию разложить в бесконечный ряд в котором удастся отбросить "хвост" - в тоом случае, если он по порядку малости не превышает требуемой точности...

 

В любом случае - все равно надо определить более-менее точно класс подинтегральной функции для начала...

Edited by Николай Z

Share this post


Link to post
Share on other sites
Наснем с начала:

речь идет о простой цепочке RC (LPF) при том что Vin(t) подается на один конец резистора, Vo(t) сниаместя с конденсатора. Решая дифф. уравнение (уравнение первой степени) сей цепочки, под конец получил такой интеграл к решению.

Vin(t) в данном случае есть train прямоугольных пульсов с данной частотой и duty cycle.

Вы имеет ввиду наверно что решение может быть для конкретрного случая только, т.е. под конкретный Vin(t) и в заданных пределах, так ? Но не ввиде закрытого бесконечного интеграла Vin(t) ?

 

Ну так задача ведь классичаская, обсосанная во всех учебниках по теории цепей. Что может быть проще RC-цепи? Решение хорошо известно - это свертка входного сигнала с импульсной характеристикой линейной цепи. Эту свертку можно нередко вычислить через преобразование Лапласа. Но просто функцией от интеграла напряжения она в общем случае не является. Для конуретных входных сигналов её часто можно вычислить аналитически.

 

Что касается прямоугольных импульсов... решение тривиально. Если на входе RC-цепи - постоянное напряжение, то на выходе будет экспонента с постоянной времени, равной RC, стремящаяся к входному напряжению, и с некоторым начальным напряжением V0. Это решение находится тривиально решением дифура.

 

Vout = Vin - (Vin - V0) * exp( - t / RC )

 

На положительном и отрицательном фронтах выходное напряжение остается постоянным - оно не может имзмениться мгновенно. Vout в конце интервала постоянного напряжения равно V0 в начале следующего. Через полный период (два фронта) напряжение конденсатора должно прийти к первоначальному, если режим установившийся. То есть это "почти меандр" - с сильно заваленными фронтами. Из этого можно тривиально записать два неоднородных линейных уравнения с двумя неизвестными. И найти точное решение без всякого интегрирования.

Share this post


Link to post
Share on other sites
Ну так задача ведь классичаская, обсосанная во всех учебниках по теории цепей. Что может быть проще RC-цепи? Решение хорошо известно - это свертка входного сигнала с импульсной характеристикой линейной цепи. Эту свертку можно нередко вычислить через преобразование Лапласа. Но просто функцией от интеграла напряжения она в общем случае не является. Для конуретных входных сигналов её часто можно вычислить аналитически.

 

Что касается прямоугольных импульсов... решение тривиально. Если на входе RC-цепи - постоянное напряжение, то на выходе будет экспонента с постоянной времени, равной RC, стремящаяся к входному напряжению, и с некоторым начальным напряжением V0. Это решение находится тривиально решением дифура.

 

Vout = Vin - (Vin - V0) * exp( - t / RC )

 

На положительном и отрицательном фронтах выходное напряжение остается постоянным - оно не может имзмениться мгновенно. Vout в конце интервала постоянного напряжения равно V0 в начале следующего. Через полный период (два фронта) напряжение конденсатора должно прийти к первоначальному, если режим установившийся. То есть это "почти меандр" - с сильно заваленными фронтами. Из этого можно тривиально записать два неоднородных линейных уравнения с двумя неизвестными. И найти точное решение без всякого интегрирования.

 

Вы правы... Я же говорил что надо класс функции для начала определить...

В таком случае вообще получается практически точное аналитическое решение и численные методы совершенно никчему.

 

Хотя и численными методами тоже в этом случае получается решение с любой заранее заданной точностью, если известны заранее все параметры эквивалентной схемы причем для любой заранее известной V(t)...

 

Если решать аналитически - то лучше все-таки определить разложение V(t) в ряд и отбросить малозначимый хвост - для реализуемых в электронике функций - обычно это достаточное приближение... и они практически все - легко апроксимируются рядами с любой наперед заданной точностью..

Edited by Николай Z

Share this post


Link to post
Share on other sites

Хмм, прикол.

Подставляя входной сигнал как pulse train который описал выше - изначально так и получил exp затухание либо рост, с учетеом начальных состяний как последние предыдущие значения выхода.

Решил это и дифуром и лапласом, оно действительно просто.

 

Но попытался решить для общего Vin(t) и тут застрял....

Я numerical methods я теорию не изучал в универе к сожалению (это у нас не является обязательным на B.Sc.EE). Разложение на ряд с последующим приближением и отбросом хвоста - это мне понятно с учебы (такой тип решения проскальзывал там-сям в лекциях)..

 

Что еще, есть мнение что вроде такая цепочка RC представляет из себя элементарный интегратор, вот и попытался получить решение в виде интеграла входного напряжения на выходе в общем виде.

Обычный интегратор (активный - на операционнике) дает интеграл легко и понятно, а тут.... :cranky:

Share this post


Link to post
Share on other sites
Хмм, прикол.

Подставляя входной сигнал как pulse train который описал выше - изначально так и получил exp затухание либо рост, с учетеом начальных состяний как последние предыдущие значения выхода.

Решил это и дифуром и лапласом, оно действительно просто.

 

Но попытался решить для общего Vin(t) и тут застрял....

Я numerical methods я теорию не изучал в универе к сожалению (это у нас не является обязательным на B.Sc.EE). Разложение на ряд с последующим приближением и отбросом хвоста - это мне понятно с учебы (такой тип решения проскальзывал там-сям в лекциях)..

 

Что еще, есть мнение что вроде такая цепочка RC представляет из себя элементарный интегратор, вот и попытался получить решение в виде интеграла входного напряжения на выходе в общем виде.

Обычный интегратор (активный - на операционнике) дает интеграл легко и понятно, а тут.... :cranky:

 

Ладно - я попробую найти изложение численного метода интегрирования для подобных цепей...

Если нарисуете всю RC-цепочку - там может даже вообще точноую программу найду...

 

Главное - схему изобразите... Чтоб было понятно - куда и какое входное воздействие - и откуда будем снимать выходное... Если это действительно схема из резисторов и конденсаторов - то задача решается с любой степерью точности как аналитически, Так и численно...

Edited by Николай Z

Share this post


Link to post
Share on other sites

Join the conversation

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Guest
Reply to this topic...

×   Pasted as rich text.   Paste as plain text instead

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.

Sign in to follow this