Jump to content

    
gosha

Формула Эйлера

Recommended Posts

формула Эйлера- это просто запись для удобства, или оно действительно равно ??

e^j*x = cos(x) + j*sin(x)

Как это вычисляется: e^ в степени мнимая 1 ? По синусам и косинусам ?

Share this post


Link to post
Share on other sites

Действительно равно. Эйлер - один из гениев математики, алгебры. По чьим учебникам до сегодня обучаются школьники. Эта формула связи тригонометрии и степенной функции один из фундаментов алгебры, разработанной Эйлером. Вычисления и методы описаны в учебниках школьной алгебры 6-8 классов. К стати Эйлер это число "e" и нашел, и в его честь оно. 

Share this post


Link to post
Share on other sites
8 minutes ago, Aner said:

Вычисления и методы описаны в учебниках школьной алгебры 6-8 классов.

Ну конкретно вывод Ф.Э. - это не школьная алгебра.

37 minutes ago, gosha said:

Как это вычисляется: e^ в степени мнимая 1 ?

Разложите e^ix в ряд Тейлора (точнее, в ряд Маклорена, ибо надо брать окрестность точки 0),  и увидите, что это сумма двух рядов, синус и косинус.

e^{{ix}}=1+{\frac  {ix}{1!}}+{\frac  {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac  {(ix)^{3}}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac  {x^{2}}{2!}}+{\frac  {x^{4}}{4!}}-{\frac  {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac  {x}{1!}}-{\frac  {x^{3}}{3!}}+{\frac  {x^{5}}{5!}}-{\frac  {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)

1-{\frac  {x^{2}}{2!}}+{\frac  {x^{4}}{4!}}-{\frac  {x^{6}}{6!}}+\ldots =\cos x

{\frac  {x}{1!}}-{\frac  {x^{3}}{3!}}+{\frac  {x^{5}}{5!}}-{\frac  {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sin x

Share this post


Link to post
Share on other sites
Just now, Aner said:

Уже так плохо в школах учат алгебру что вывод Ф.Э. - это не школьная алгебра? Странно.

нам в 1995ом году на в 10-11ом классе физико-математического лицея давали. в обычных школах уже не было

Share this post


Link to post
Share on other sites
18 minutes ago, Aner said:

Уже так плохо в школах учат алгебру что вывод Ф.Э. - это не школьная алгебра? Странно.

Я вот не помню, честно говоря, давали в школе или нет, познакомился я с этой формулой явно самостоятельно. Справедливости ради, я в ФМШ учился, так что может и в школе давали, но не помню. В любом случае мне кажется, что для 6-8 класса реально крутовато будет.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Полагаю, что Эйлер не вывел эту формулу, а просто определил правило, как следует возводить числа в мнимую степень, исходя из геометрического представления, что действительная и мнимая оси образуют комплексную плоскость. Причем, определил так, чтобы результат возведения в степень всегда принадлежал этой же плоскости. И сделал это с тем умыслом, чтобы комплексные числа образовали (алгебраическое) поле.

Share this post


Link to post
Share on other sites
1 час назад, Tanya сказал:

Википедия пока не согласна, Ксения.

Но мы же здесь не в точности цитирования Википедии соревнуемся :).

 

Эйлер сперва предложил свою аппроксимацию степенной функции ex бесконечным рядом, а после подставил в него комплексное число и предложил считать величину, к которой такой ряд сходится, за комплексную экспоненту. Это предложение всем понравилось :), поскольку допускало формальную подстановку комплексных чисел вместо действительных.

Но так бывает не всегда - есть ряды, которые после замены действительной величины на мнимую перестают сходится.

 

Фактически в то время многие функции попросту не были определены для комплексного аргумента, вот их и стали в спешном порядке доопределять. Кажется Эйлер тем же подходом еще и логарифм от комплексного числа определил, а может быть и еще что-то. Для этого личного авторитета ему хватало :).

 

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

В школе этого не давали. Как и комплексных чисел вообще. 

По формуле хорошо расписано во всё той же книге Р. Лайонс, Цифровая обработка сигналов. 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Ксения, Википедия считает, что геометрическое представление возникло много позже. Я про это.

20 минут назад, ViKo сказал:

В школе этого не давали. Как и комплексных чисел вообще. 

По формуле хорошо расписано во всё той же книге Р. Лайонс, Цифровая обработка сигналов. 

В некоторых школах все это было. И есть.

Share this post


Link to post
Share on other sites
42 minutes ago, ViKo said:

В школе этого не давали. Как и комплексных чисел вообще.

подтверждаю, в некоторых было. мы в 10ом класе лицея начали изучать теорию функций комплексного переменного

Share this post


Link to post
Share on other sites

У нас комплексные числа были только на факультативе, вне основных занятий. Обычная (НЕ спец-) московская школа 1969-79. Думаю, в советское время была единая учебная программа...

Share this post


Link to post
Share on other sites

     Вообще-то комплексные числа не особо нужны :), а придумали (определили!) их математики ради симметрии - чтобы всякие функции в обе стороны работали, т.е. у каждого прямого преобразования было бы и своё обратное. Полного успеха в этом деле они, конечно, не достигли, т.к. разных преобразований может быть бесконечно много, но на сколько они смогли, на столько и продвинулись в этом направлении.

 

     В древности операций было всего две - сложение и умножение, да и те целочисленные (натуральные). И когда понадобились к ним обратные (вычитание и деление), то сперва возникло затруднение из-за того, что большее не вычиталось из меньшего, а числа далеко не всегда делились друг на друга нацело. Отсюда и актуальные задачи древности на тему "справедливого" деления материальных ценностей между несколькими претендентами. Вторая задача, как более актуальная, была решена первой, путем создания сперва рациональных чисел на базе целочисленных  дробей, а позже ввели и "плавающую точку". С вычитанием несколько задержались, смиряясь тем, что выполнить вычитание не всегда возможно, но потом ровно так же изобрели (определили!) отрицательные числа. Вот комплексные числа были введены в обращение, когда математикам захотелось, чтобы не только операции сложения и умножения имели обратные себе операции, то и возведение в степень. И не столько ради формальной симметрии, но и затем, чтобы корни уравнений всегда имели решение.

 

     Всякий раз, когда вводили новые числа, возникало облечение с той стороны, что появлялась обратная операция, но одновременно возникала новая проблема со стороны выполнения над этими новыми числами всех тех операций, что были определены до их появления. С отрицательными числами разделались довольно легко, старясь определить эти операции так, чтобы переходе через ноль не нарушалась непрерывность ни самой функции, ни ее высших производных. Правило возведения в отрицательную степень сфабриковали очень быстро. А вот с возведением отрицательного числа в дробную степень возникла проблема, решение которой до поры до времени отложили.

 

     И вот, наконец, грянули комплексные числа. Здесь сразу поняли, что задачи на полиномы в их среде всегда решаются (а ля "основная теорема алгебры"), хотя в алгоритмическом плане трудности еще оставались, т.к. вскоре оказалось, что корни полиномов высших степеней далеко не всегда могут быть выражены в аналитическом виде (т.е. в виде формулы). Отсюда и бурное развитие численных методов (когда ищут решение в виде числа, а не алгебраического выражения), которым в значительной мере способствовало вычисление на компьютерах. А вот операцию с возведением чисел в комплексную степень решили с помощью Эйлера.

 

     Выше уже были упреки в мой адрес, после того как я назвала такое решение определением. А дело тут в том, что с тех пор прошло много времени, и нынче кажется, что эти формулы просто вывели формальными алгебраическими преобразованиями. Тогда как прежде чем вывести такую формулу, необходимо решить (определить!), что именно означает та операция, формулу для вычисления которой взялись выводить. Скажем, все ли здесь присутствующие четко представляют себе синус мнимого угла? И вообще, каков он мнимый угол? А если мнимый угол вы себе не представляете, так же собираетесь вычислять от него тригонометрические функции?

 

     Так вот заслуга Эйлера была именно в том, что он сперва собрал в своей книге удачные, на его взгляд, варианты разложения различных функций в бесконечные ряды, где каждый член такого ряда был не сложнее частного от деления двух полиномов. Тем самым большинство известных в то время функций можно было представить в "полиномиальном виде". А затем предложил общий метод определения смысла этих функций от комплексного аргумента так, чтобы он соответствовал тому значению, которое получается при подстановке комплексного числа в этот ряд. При таком определении сводилась к минимуму вероятность того, что в будущем возникнут проблемы, когда в аргументе таких функций возникнет "флуктуация" (появление мелких мнимых добавок к действительной части). Ныне все эти проблемы полностью решены так, что переход от действительного аргумента к мнимому через промежуточное комплексное выражение происходит максимально гладко и не вызывает внутренних логических противоречий.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Join the conversation

You can post now and register later. If you have an account, sign in now to post with your account.

Guest
Reply to this topic...

×   Pasted as rich text.   Paste as plain text instead

  Only 75 emoji are allowed.

×   Your link has been automatically embedded.   Display as a link instead

×   Your previous content has been restored.   Clear editor

×   You cannot paste images directly. Upload or insert images from URL.