Перейти к содержанию

    

Расчёт переходной функции (реакции на ступеньку)

Уравнение переходной функции любого фильтра имеет знаменатель.

При некоторых условиях он обращается в нуль и даже становится комплексным.

Как при этом ведётся расчёт?

 

Пример:

для ФНЧ 2го порядка нуль, когда Q = 0.5, когда Q < 0.5 - решать приходится в компексных числах.

для фильтра-пробки на основе двойного Т-моста - когда усиление = 1.

 

Формулы - на картинке.

 

Тут на стр. 3 формула через коэффициент дэмпфирования, и тоже при равенстве его 1 под корнем получаем 0.

post-15366-1534434169_thumb.png

StepResponses.zip

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

Если вы решаете в s-плоскости, то и результат реакции на ступеньку хотите в s-плоскости?

Перемножьте образ фильтра с образом s-образом ступеньки (1/s), и готово.

https://www.intmath.com/laplace-transformat...ep-function.php

 

Нули в знаменателе (полюса) в "частотной области".

Во временной, где обычно смотрят отклик на ступеньку, это диф. уравнение.

В нем нет деления на ноль, но есть неустойчивость.

 

Взяли образ фильтра, умножили на образ сигнала, провели обратное преобразование Лапласа и готово.

Либо взяли диф. ур-е, поставили начальные условия и решили задачу Коши.

Перед решением узнали об устойчивости. Проверили сгущающимися сетками. Либо методом с автоподбором шага и определением "проблем".

 

 

 

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты
Если вы решаете в s-плоскости, то и результат реакции на ступеньку хотите в s-плоскости?

Перемножьте образ фильтра с образом s-образом ступеньки (1/s), и готово.

 

Именно это и сделано - см. формулы на рисунке.

 

Непонятно как при 0 в знаменателе решать.

Очевидно, что как-то формула должна сократится, видимо, до е в степени, и стать по виду как для ФНЧ 1-го порядка.

 

Для фильтра-пробки решение нашлось - при G=1 формула вырождается до 1 минус е в степени, а при G = 2 схема нестабильна, так что формула теряет смысл и этот случай можно не рассматривать.

 

И при отрицательном значении под корнем тоже видимо как-то должно всё упрощаться математически.

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

f(s):=1/(s*(1+A*s+B*s^2));

Для 4B-A^2=0:
y(t):=(-(A*t)/(2*B)-1)*exp(-(A*t)/(2*B))+1;

Для 4B-A^2>0:
(exp(-(A*t)/(2*B))*(-(A*B*sin((sqrt(4*B-A^2)*t)/(2*B)))/sqrt(4*B-A^2)-B*cos((sqrt(4*B-A^2)*t)/(2*B))))/B+1

Для 4B-A^2<0:
y(t):=(exp(-(A*t)/(2*B))*(-(A*B*sinh((sqrt(A^2-4*B)*t)/(2*B)))/sqrt(A^2-4*B)-B*cosh((sqrt(A^2-4*B)*t)/(2*B))))/B+1

 

В третий случай - ваш.

Но для A^2-4*B=0 решением будет

y(t):=(-(A*t)/(2*B)-1)*exp(-(A*t)/(2*B))+1;

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

Вы хотите сказать, что при Q = 0.5 и ниже, схема фильтра 2-го порядка неработоспособна?

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

Нет, признался выше что облажался и думал не о том. Извиняюсь.

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты
В третий случай - ваш.

Но для A^2-4*B=0 решением будет

y(t):=(-(A*t)/(2*B)-1)*exp(-(A*t)/(2*B))+1;

 

Да, выглядит правильным, только до конца не понял как оно получилось.

 

Такая же неопределённость и в других передаточных функциях, так что либо понять надо, либо просить Вас их разрешить :)

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

Прямой подстановкой корней для A^2-B в f(s) и вычислением обратного Лапласа.

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

Не приходит понимание, можете разжевать ещё раз, по шагам, подробно?

 

s= %i*y

s = (-B +/- sqrt(A^2-4B))/(2B) = -1/2

 

тут разве не s = -B ?

 

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

Да, конечно. Забыл поправить.

B*s^2+A*s+1=0
s = -A/(2B);

h(s):=1/(s*(s+(1/2)*(A/B))^2);
Полюс в нуле и один в -(1/2)*(A/B), B>0, A>0
Замена перменных (в общем-то не нужная):
s=q*(A/B)
h(q) = B/(A*q*((A*q)/B+A/(2*B))^2) 
h(q) = (B/A)^2*1/(q*(q+1/2)^2) 
h(q) = 1/(q*(q+1/2)^2) 
inv_lap(h(q))=1-exp(-t/2)-t/2*exp(-t/2)
В s=0, s=-1/2 первой кратности, s=-1/2 второй кратности.

 

Проверил в wxMaxima, ей не надо разбивать руками по веткам.

Она знает через assume или спрашивает чему равен дискриминант.

 

P.S. Не против если я свое позорище зачищу во втором посте?

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты
Да, конечно. Забыл поправить.

B*s^2+A*s+1=0

s = -A/(2B);

 

Проверил в wxMaxima, ей не надо разбивать руками по веткам.

Она знает через assume или спрашивает чему равен дискриминант.

 

P.S. Не против если я свое позорище зачищу во втором посте?

 

Что-то не бьётся у меня c 0 при s = -A/(2B)...

Суть вроде понятна.

Считать ручками корни только каждый раз желания нет.

wxMaxima может автоматически решения дать для всех 3х случаев?

 

И осталось понять, каков смысл комплексных вычислений для Q < 0.5.

Это просто абстракция, приводящая в итоге к вещественному результату?

 

P.S. да, конечно, лишнее только мешает.

 

Upd. В Maxima получились уравнения для всех случаев, здорово!

Изменено пользователем VDV

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

На ещё один вопрос не могу найти ответ.

Соединяем несколько каскадов последовательно.

Для каждого знаем функцию передачи, а значит реакцию на ступеньку (и импульс).

Зная только численные значения реакции на ступеньку во временной области каждого каскада, можно найти суммарную реакцию на ступеньку всей цепи?

Пример: многозвенный ФНЧ.

 

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты
На ещё один вопрос не могу найти ответ.

Интеграл Дюамеля дает ответ.

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты
Интеграл Дюамеля дает ответ.

Спасибо, всё получилось!

 

 

 

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на другие сайты

Для публикации сообщений создайте учётную запись или авторизуйтесь

Вы должны быть пользователем, чтобы оставить комментарий

Создать учетную запись

Зарегистрируйте новую учётную запись в нашем сообществе. Это очень просто!

Регистрация нового пользователя

Войти

Уже есть аккаунт? Войти в систему.

Войти
Авторизация