Jump to content

    

Можно ли вычислить интеграл? Где посмотреть?

Если я не ошибаюсь, то интеграл sin x/x^2, не должен сходиться в окрестности 0. Соответственно H(0) неопределено.

Share this post


Link to post
Share on other sites
Если я не ошибаюсь, то интеграл sin x/x^2, не должен сходиться в окрестности 0. Соответственно H(0) неопределено.

Похоже. Ну, положим, там дельта - функция. А на остальной оси?

 

Да. Но как его брать?

Share this post


Link to post
Share on other sites
Да. Но как его брать?

ЕМНИП, через вычеты.

 

У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться теоремой Коши.

 

Метод такой:

 

Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω.

 

По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции.

 

Вычет в точке x = 0 равен нулю.

 

Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω.

 

Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно.

 

Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x2, оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю.

 

Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно.

 

Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить.

 

В итоге получаете:

 

ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω.

 

Если ничего не напутал.. :biggrin:

Share this post


Link to post
Share on other sites
ЕМНИП, через вычеты.

 

У функции два полюса на вещественной оси и две особенности на бесконечности. Нужно сместить контур интегрирования и воспользоваться теоремой Коши.

 

Метод такой:

 

Рисуете на комплексной плоскости прямоугольник охватывающий оба полюса подынтегральной функции: x = 0 и x = ω.

 

По теореме Коши интеграл по этому прямоугольнику равен сумме вычетов подынтегральной функции.

 

Вычет в точке x = 0 равен нулю.

 

Вычет в точке x = ω равен sin(ω)/ω.

 

Теперь смещаете левую и правую стороны к прямоугольника к -∞ и +∞, соответственно.

 

Поскольку при x -> -∞ и x -> +∞ подынтегральная функция стремится к нулю как: 1/x2, оба интеграла вдоль левой и правой стороны прямоугольника стремятся к нулю.

 

Теперь смещаете верхнюю и нижнюю стороны к прямоугольника к +i0 и -i0 соответственно.

 

Теперь в интеграле вдоль отрезка (+∞,+i0)..(-∞,+i0) меняете направление интегрирования и замечаете, что сумма обоих получившихся интегралов равна удвоенному интегралу, который вы хотите вычислить.

 

В итоге получаете:

 

ʃ{sin(x)/[x(ω-x)]dx = (1/2)*sin(ω)/ω.

 

Если ничего не напутал.. :biggrin:

Идея понятна.

Есть тут неприятность: теорема о вычетах требует, чтобы на контуре интегрирования не было полюсов - а они как раз на действительной оси.

Нас интересует интеграл вдоль действительной оси - это должно быть нижней стороной контура при обычном обходе против часовой стрелки.

Другие стороны (будь то прямоугольник или пол-окружности) должны быть бесконечно удалены от 0. Метод работает, если подинтегральная функция комплексного аргумента стремится по модулю к 0 при стремлении к бесконечности модуля комплексного аргумента.

И здесь вторая трудность: |sin()| комплексного аргумента неограниченно растет при увеличении мнимой части - превращаясь в sh(). Хорошее предположение об ограниченности подинтегральной функции нарушается.

 

И еще одно. Получилось, что преобразование Гильберта от sinc() есть та же самая sinc(). Тогда комплексная огибающая sinc() - тоже sinc()? Не очень похоже на правду.

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
И еще одно. Получилось, что преобразование Гильберта от sinc() есть та же самая sinc(). Тогда комплексная огибающая sinc() - тоже sinc()? Не очень похоже на правду.

Ну, там со сменой направления интегрирования не все так просто, как выяснилось.. ;)

 

И здесь вторая трудность: |sin()| комплексного аргумента неограниченно растет при увеличении мнимой части - превращаясь в sh(). Хорошее предположение об ограниченности подинтегральной функции нарушается.

Экспоненциальный рост функции sin(x) при x -> 0±i*∞ при указанном выше пути интегрирования нас, вроде, волновать не должен.

Share this post


Link to post
Share on other sites

В итоге получается так:

 

 

UPD: Исправил ошибки.. :biggrin:

 

То есть, искомый интеграл равен:

 

I(ω) = pi*[1- cos(ω)]/ω.

Share this post


Link to post
Share on other sites
В приложении формула.

Если w -> Real ,то не сходится

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
Если w -> Real ,то не сходится

Всё там сходится, для значений "ω" не равных тождественно нулю.

 

PS. Кстати, формула, похоже, верна и в точке ω = 0.

Share this post


Link to post
Share on other sites
Всё там сходится, для значений "ω" не равных тождественно нулю.

 

Для такого y = inline ("sin(x)/x/(3-x)");

[q, ier, nfun, err] = quad (y,-1000000000., 1000000000.)

Октава выдала ABNORMAL RETURN FROM DQAGP

Share this post


Link to post
Share on other sites
Октава выдала ABNORMAL RETURN FROM DQAGP

А она умеет вычислять главное значение интеграла по Коши?

 

PS. Кстати, в английской версии Wiki есть табличка с готовыми формулами для преобразования Гильберта sinc-функции.

Share this post


Link to post
Share on other sites
В итоге получается так:

 

 

UPD: Полученный результат таки нужно поделить на два, так как путь интегрирования проходит через оба полюса.

 

То есть, искомый интеграл равен:

 

I(ω) = [1+ cos(ω)]/[2*ω].

 

Не правильно.

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now
Sign in to follow this