Jump to content

    

Можно ли вычислить интеграл? Где посмотреть?

А она умеет вычислять главное значение интеграла по Коши?

 

PS. Кстати, в английской версии Wiki есть табличка с готовыми формулами для преобразования Гильберта sinc-функции.

Wolfram Matematica выдала

"Integral of Sin[x]/(3*x-x^2) does not converge on {-\[infinity],\\[infinity]}. "

Для функции Sin[x]/(x*(3-x))

Ну она то точно умеет вычислять главное значение интеграла по Коши

 

Но похоже как-то по-своему делает. Всегда сходится

Edited by mcheb

Share this post


Link to post
Share on other sites
Wolfram Matematica выдала

"Integral of Sin[x]/(3*x-x^2) does not converge on {-\[infinity],\\[infinity]}. "

Для функции Sin[x]/(x*(3-x))

Ну она то точно умеет вычислять главное значение интеграла по Коши

 

Но похоже как-то по-своему делает. Всегда сходится

 

Такой тупняк маткад вычисляет легко.

Share this post


Link to post
Share on other sites
В итоге получается так:

 

 

UPD: Исправил ошибки.. :biggrin:

 

То есть, искомый интеграл равен:

 

I(ω) = pi*[1- cos(ω)]/ω.

 

Спасибо за помощь.

Тоже нашел ответ в справочнике 1974г.

К стати, я правильно понял, что интеграл по полуокружности на самом деле брать не надо, он в 2 раза меньше, чем интеграл по окружности, и его можно через вычет получить?

Edited by Дмитрий_Б

Share this post


Link to post
Share on other sites
Спасибо за помощь.

Тоже нашел ответ в справочнике 1974г.

 

Вообще-то в институтах даже я, троечник, получил свою тройку на экзамене по тфкп только за то, что бодро решил похожий интрегал в присутствии экзаменатора. Это реально примитив.

Share this post


Link to post
Share on other sites
.. Это реально примитив.

Так, если бы не посредственности, был бы у вас повод заявить миру о своей гениальности?.. :biggrin:

 

Кстати, я правильно понял, что интеграл по полуокружности на самом деле брать не надо, он в 2 раза меньше, чем интеграл по окружности, и его можно через вычет получить?

Да, "интеграл по полуокружности в два раза меньше, чем интеграл по окружности, и его можно через вычет получить"..

 

Можно было с самого начала выбрать контур, внутри которого вообще нет полюсов.

 

Но мне показалось, что будет полезно показать взаимосвязь между вычетами и интегралами вдоль вещественной оси..

Share this post


Link to post
Share on other sites
Так, если бы не посредственности, был бы у вас повод заявить миру о своей гениальности?.. :biggrin:

Не. Это не мое. Я махровый троечник, читай - посредственность. А хрень про интегралы можно прочитать практически в любом учебнике по тфкп совершенно бесплатно ну и возгордиццо, если очень нужно.

 

Но мне показалось, что будет полезно показать взаимосвязь между вычетами и интегралами вдоль вещественной оси..

 

И вот про это тоже.

 

Share this post


Link to post
Share on other sites
Вообще-то в институтах даже я, троечник, получил свою тройку на экзамене по тфкп только за то, что бодро решил похожий интрегал в присутствии экзаменатора. Это реально примитив.
Наверное, так.

Для тех, кто что-то ещё помнит. Я, к стыду своему, уже почти не.

Хоть и "государственную" по ТФКП получил, скорей, по невезению.

"Бытие определяет сознание" (с).

 

Share this post


Link to post
Share on other sites

я вот тоже с интегралами по контурам плохо дружил, а сейчас еще и забыл все к черту:

 

В итоге получается так:

 

 

UPD: Исправил ошибки.. biggrin.gif

А тут аттачменты отвалились и я почитать не могу :-(

 

По поводу Махимы (идеологический аналог Вольфрама): Может, но тупит.

Например, чтобы посчитать этот интеграл надо форсировать алгоритм БЕЗ анализа вычетов.

integrate(sin(x)/(x*(w-x)), x, minf, inf),intanalysis:false;

-(%pi*cos(w)-%pi)/w

 

Но я не уловил как правильно выглядит сам вывод.

 

==========================================

 

Разобрался. Интеграл решается "в лоб", без высшей математики.

Подинтегральное выражение разделяете на части, так чтобы в знаменателях было по одному иксу.

Тогда получается (cos(w)SI(x-..)+sin(w)CI(x-..)-SI(x) )/w+C, подставляете пределы, смотрите в справочник:

CI(inf)=0,

SI(inf)=%pi/2

SI(minf)=-SI(inf), отсюда pi/2 становится pi в множителе.

 

Никаких вычетов.

 

@mcheb, quad - численный интегратор. Хоть вы и подставляете туда аналитическую "функцию", в действительности y становится просто указателем на "безымянную" функцию, и Октаве глубоко пофигу как она выглядит внутри. Отсюда и ошибки. К тому же quad наименее точный интегратор из всего пакета. Инструменты для аналитической математики в Октаве есть только на предопределенный формат для подставляемых коэффициентов, и все так же фактически численные алгоритмы.

Share this post


Link to post
Share on other sites
Разобрался.

...

Тогда получается (cos(w)SI(x-..)+sin(w)CI(x-..)-SI(x) )/w+C, подставляете пределы, смотрите в справочник:

...

Никаких вычетов.

Можете привести подробный вывод этой формулы?

 

Хотелось бы понять, как вам удалось перейти от несобственного интеграла с бесконечными пределами к интегралам с переменными верхним и нижним пределами интегрирования: Si(x) и Ci(x) ?

 

Если используется предельный переход, то хотелось бы также увидеть его обоснование..

Share this post


Link to post
Share on other sites

да нет никаких обоснований. я же дилетант и делаю все в лоб и неправильно через неопределенные интегралы

 

INT(sin(x)/(x*(w-x)), dx)=

INT( sin(x)/(w*x) + sin(x)/(w*(w-x)) , dx)

 

С первой частью все понятно, откладываем до взятия пределов.

Далее

 

INT( sin(x)/(w-x) , dx): замена u=w-x (пределы все равно останутся плюсминус бесконечность; чи не контур и не вектор, направления нет)

 

INT( sin(w-u)/u , du)= sin(w)*INT(cos(u)/u, du)-cos(w)*INT(sin(u)/u,du)

 

Опять, SI(±∞) и CO(±∞), значения приведены ранее. Т.е. интегральный косинус можно отбросить сразу с его множителем. Останется косинус параметра при интегральном синусе, и удвоенный инт. синус в добавке. Все это поделено на параметр в общем знаменателе.

 

Может грубо и неверно, но результат должен получиться ранее указанный.

Share this post


Link to post
Share on other sites
Опять, SI(±∞) и CO(±∞), значения приведены ранее.

Что такое "CO(±∞)" ? Определение приведите, плиз..

Share this post


Link to post
Share on other sites
да нет никаких обоснований. я же дилетант и делаю все в лоб и неправильно через неопределенные интегралы

 

INT(sin(x)/(x*(w-x)), dx)=

INT( sin(x)/(w*x) + sin(x)/(w*(w-x)) , dx)

 

С первой частью все понятно, откладываем до взятия пределов.

Далее

 

INT( sin(x)/(w-x) , dx): замена u=w-x (пределы все равно останутся плюсминус бесконечность; чи не контур и не вектор, направления нет)

 

INT( sin(w-u)/u , du)= sin(w)*INT(cos(u)/u, du)-cos(w)*INT(sin(u)/u,du)

 

Опять, SI(±∞) и CO(±∞), значения приведены ранее. Т.е. интегральный косинус можно отбросить сразу с его множителем. Останется косинус параметра при интегральном синусе, и удвоенный инт. синус в добавке. Все это поделено на параметр в общем знаменателе.

 

Может грубо и неверно, но результат должен получиться ранее указанный.

Браво!

Красивый и простой вывод!

Share this post


Link to post
Share on other sites
Что такое "CO(±∞)" ? Определение приведите, плиз..

 

Вы правы. Это мое дилетантство, забыл уже университетский курс. Правильно интегральный косинус обозначают Ci(x). Ну а плюсминусбесконечность, думаю понятно.

Share this post


Link to post
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now
Sign in to follow this