[Tarbal 4]

У тс несколько некорректно записаны уравнения.

Скользящее среднее должно быть так:

Y[i+N] = Y[i+N-1] + (X[i+N] - X[i-N-1]) / (2N+1)

или

Y = Y[i-1] + (X - X[i-2*N-1]) / (2N+1)

отсюда:

X = X[i-2*N-1] + (Y - Y[i-1]) * (2N+1)

 

У меня длина N у него 2*N+1

У меня x у него Y

У меня y у него X

У меня n у него i

Ну и до кучи я не делил/ не умножал на длину, что в общем-то и непринципиально...

 

Спасибо.

 

Теперь у меня когнитивный диссонанс:

Как эта формула может быть неустойчива, когда посредством простой арифметики я вижу, что она дает значение в точности то, которое было. При условии, что мы считаем, что нам известно первое значение.

 

[thermit 1]

Tarbal:

Теперь у меня когнитивный диссонанс:

Как эта формула может быть неустойчива, когда посредством простой арифметики я вижу, что она дает значение в точности то, которое было. При условии, что мы считаем, что нам известно первое значение.

 

 

Дискретная система называется устойчивой, если для ее импульсной х-ки выполняется условие:

 

 

Очевидно, что для их восстанавливающего фильтра это условие не выполняется.

Ну и разнесет выход такой цепи на любой последовательности кроме единственной.

Изменено 15 января, 2014 пользователем thermit

[mdmitry 0]

С цифирью всё гораздо проще. Т.к. цифровая функция определена на дискретном пространстве (только в узловых точках, множество которых в лучшем случае имеет мощность множества целых чисел), ни о какой интегрируемости не может быть и речи, по определению.

Конечно, а фильтр реализует дискретную свертку.

Я упомянул интегралы из-за этой фразы AndrewN:

Кгм... А дискретные-то фильтры откуда произошли? Из свёрток, суть интегральных преобразований, со специальными ядрами.

[Tarbal 4]

Дискретная система называется устойчивой, если для ее импульсной х-ки выполняется условие:

 

 

Очевидно, что для их восстанавливающего фильтра это условие не выполняется.

Ну и разнесет выход такой цепи на любой последовательности кроме единственной.

 

Ну я видел, что полюса на единичной окружности и не об определении устойчивости спрашиваю. Также я знаю к чему неустойчивость приведет.

 

Однако если считать по разностному уравнению мы будем получать те самые значения, которые были до усреднения, что не согласуется в моем понимании с разнесением последовательности.

Изменено 15 января, 2014 пользователем Tarbal

[Stanislav 0]

Ну и разнесет выход такой цепи на любой последовательности кроме единственной.

Извините, но формально это не так.

Неустойчивые фильтры имеют право на жизнь, например, для последовательностей с конечным числом ненулевых значений.

Пример - алгоритм Герцеля.

 

[thermit 1]

Stanislav:

Извините, но формально это не так.

Неустойчивые фильтры имеют право на жизнь, например, для последовательностей с конечным числом ненулевых значений.

Пример - алгоритм Герцеля.

 

Право на жизнь никто не оспаривает. Речь идет конечно же о последовательностях неограниченных во времени.

[Stanislav 0]

Я упомянул интегралы из-за этой фразы AndrewN:

Дык, в ЦОС под дискретными свёртками и пр., подразумеваются просто суммы рядов, конечных или бесконечных.

Названия "технические", не имеющее никакого отношения к математически строгим определениям.

В конце-то концов, из цифири нужно в реальный мир выползать, вот и придумываются некие аналогии.

Но тупо следовать им нельзя - вероятность сесть в лужу близка к 100%. Пользоваться ими можно только в определённых, осмысленных границах.

 

Право на жизнь никто не оспаривает. Речь идет конечно же о последовательностях неограниченных во времени.

И всё равно не любых. Таких последовательностей (формально) существует бесконечное множество.

(Не спора ради, а истины для). :)

 

Наверное, была бы интересной задача минимизации ошибки при искусственном повышении устойчивости фильтров в системах с ограниченной разрядной сеткой.

Но это, думается, требует отдельной темы.

[thermit 1]

Tarbal:

Как эта формула может быть неустойчива,...

 

не об определении устойчивости спрашиваю

 

Определитесь с вопросами.

 

Однако если считать по разностному уравнению мы будем получать те самые значения, которые были до усреднения, что не согласуется в моем понимании с разнесением последовательности.

 

Подайте что-нибудь другое. Увидите, что будет. Разговор опять плавно поехал в сторону словоблудия. Вопросы связанные с вашим мироощущением вне моей компетенции и этого топика.

 

Stanislav:

И всё равно не любых. Таких последовательностей (формально) существует бесконечное множество.

 

Да. Их по крайней мере не меньше числа последовательностей, которые можно обработать соответствующим однородным фильтром.

[Stanislav 0]

Да. Их по крайней мере не меньше числа последовательностей, которые можно обработать соответствующим однородным фильтром.

:)

 

Я бы сказал - больше.

[Tarbal 4]

Определитесь с вопросами.

 

 

 

Подайте что-нибудь другое. Увидите, что будет. Разговор опять плавно поехал в сторону словоблудия. Вопросы связанные с вашим мироощущением вне моей компетенции и этого топика.

 

 

 

Да. Их по крайней мере не меньше числа последовательностей, которые можно обработать соответствующим однородным фильтром.

 

Правильно ли я вас понял, что использование разностного уравнения для последовательного вычисления исходных значений не даст ожидаемого результата?

 

[thermit 1]

Правильно ли я вас понял, что использование разностного уравнения для последовательного вычисления исходных значений не даст ожидаемого результата?

 

Смотря что вы ожидаете. Если выход скользящего среднего представлен точно - обратный фильтр восстановит исходный сигнал без ошибок. Иначе, выход обратного фильтра будет содержать шум, который будет неограниченно расти с течением времени.

[ViKo 1]

Я считаю, что обратный фильтр - устойчивый, на грани устойчивости, с полюсами на единичной окружности z-плоскости. Для другого фильтра, при ошибках вычислений это было бы чревато возбуждением. В данном случае при расчетах не теряется ни одного бита (во всяком случае, это можно сделать). Одни сложения да вычитания. Деление-умножение можно не делать, если в прямом фильтре не делить среднее на количество. Но и при делениях, умножениях можно иметь достаточно разрядов, чтобы вычислять точно, если числа целые.

Подтвердить формулами свое предположение не могу (может, позже, в свободное от досуга время).

Нет, пожалуй, все же, можно говорить только об устойчивости пары прямой + обратный фильтры. Оставлю свое сообщение неизменным, как информацию для размышлений.

Импульсная характеристика обратного фильтра будет содержать палки - одна вверх, следом за ней вниз, через N (длина фильтра) все повторяется, и так до бесконечности.

[thermit 1]

пожалуй, все же, можно говорить только об устойчивости пары прямой + обратный фильтры

 

Да.

 

[Гость TSerg]

Немного соображений:

 

Вопрос ТС относится к т.н. редукционной проблеме Релея или классу обратных задач, также именуемых как задачи редукции, восстановления, реставрации (signal restoration).

 

Эта проблема возникла как раз из желания практиков приблизить реальную измерительную систему ( датчик ) к идеальной, т.е. устранить влияние датчика на результат измерения (хотя, в общем-то, это некорректно, поскольку без взаимодействия датчика и среды (объекта), измерения не может быть, как такового ).

 

Пример прикладной задачи с компенсацией аппаратной (весовой) функции термопары я упоминал выше.

 

В зависимости от того в каком базисе задача поставлена ( временной или пространственный ), соответственно решения сводятся к интегральным уравнениям свертки: Вольтерры (динамические системы) или Фредгольма (не динамические системы) соответствующего рода.

Для ур-ний Вольтерры I рода ( системы без ОС ) задача поиска решения, как правило, является некорректной ( неустойчивой ) и приходится прибегать к различного рода регуляризации.

 

Уравнения свертки во временной области h(t)*x(t) = y(t) или в частотной H(f)*X(f)=Y(f).

 

Очевидна, взаимосвязь исходной H(f) и реставрационной Hr(f) ( обратной ) весовыми функциями (ВВ) для их взаимо-компенсации:

Hr(f)=1/H(f).

 

Если усиление исходной весовой функции убывает с частотой, очевидно, что усиление обратной функции должно увеличиваться, но это приводит

к подчеркиванию шумов, что, в конечно итоге, может сделать решение нереализуемым.

Для компенсации негативного, в смысле усиления помех, действия реставрационной ВВ, вводят корректирующую ВВ:

Hr(f) = (1/H(f)) * W(f)

 

- при W(f) = 1, имеем инверсную фильтрацию.

- при W(f) = rect(f/fc) ( оконная функция того или иного вида), выполняется ограничение спектра на уровне fc.

- регуляризация Тихонова для решения некорректных задач ( гребневая регрессия ) и т.п.

 

Как правило, методы обратной фильтрации применимы к существенно высокочастотным шумам (в т.ч. шумам квантования) или вообще их отсутствию.

 

Во всех этих случаях поиск решения сводится к компромиссному выбору между сверхразрешением и зашумлением.

К примеру, если ДПФ корректора: B0+B1*Z^-1+..+Bn*Z^-N,

то коэф-т усиления "белого"шума K = sqrt(sum(B^2))/sum(B обычно выбирают в диапазоне 2..5.

 

Еще один класс решений основан на выводе формул аналитического продолжения для определенного класса функций, сделанном не так давно (1986 г.), Львом Айзенбергом.

В частности, этот подход применим для экстраполяции спектра Фурье финитного сигнала, заданного на отрезке.

( Если значение спектра известно на отдельных частотах, то его можно оценить на любой частоте ).

 

 

[Tarbal 4]

Смотря что вы ожидаете. Если выход скользящего среднего представлен точно - обратный фильтр восстановит исходный сигнал без ошибок. Иначе, выход обратного фильтра будет содержать шум, который будет неограниченно расти с течением времени.

 

Спасибо. Теперь все понятно.

Кроме одного: полюса на единичной окружности не устроят разноса. Насколько я понимаю ситуацию для разноса им надо немножко выйти за окружность.