[javalenok 0]

Два кондёра. В начальный момент один заряженный (U1) другой - нет (U2=0). Их разделяет ключ и катушка (L). На качественном уровне рассуждений, при замыкании ключа, ток из C1 потечёт в C2. Потом он остановиться и потечёт в обратную сторону. Ограничимся одним периодом, поставив идеальный диод в направлении тока.

 

Поставим кондёры одной ногой на землю. Можно записать следущие уравнения:

(1) di/dt = (U1-U2)/L
(2) dU1/dt = -i/C1   => (дифф по t) => -U1'' = i'/C1 => -C1U1'' = i'
(3) dU2/dt = i/C2   => (дифф по t) => U2'' = i'/C2 => C2U2'' = i'

откуда 

(4) (U1-U2)/L = -C1U1'' = C2U2''

 

Не умею решить систему (4). Может кондёры можно в 1 эквивалентный свести и получить обычный гармонический осциллятор?

 

К чему я вобще за неё взялся, в чём соль задачи? Недавно познакомился со схемой удвоителя напряжения на конденцаторах. По отзывам рекомендателей - идеальная схема для повышения постоянных напряжений умеренной мощности. При использовании ШИМ позволяет получить любые коэффициенты. Главное достоинство - отсутствие каких-либо шумов. Однако, собственное расследование, с обращеним в всемирному разуму приоткрыло глаза. Оказалось, что она работает более-менее эффективно только благодаря паразитным индуктивностям. Известен курьёзный случай с одним американским оборонным проектом, когда для повышения КПД избавились от индуктивности... и схема перестала работать.

 

Парадокс в том, что когда у вас есть два, для простоты одинаковых, конденцатора один из которых заряжен до U и следовательно обладает энергией E0 = C*U^2/2, а второй - пустой, то при их соеденении половина заряда перетекает на второй и общая энергия становиться E1 = C*(U/2)^2/2 * 2 = C*U^2/4 = E0/2, т.е. уменьшается вдвое. Другими словами, столб воды высотой 2h вчетверо более энергетичен другого высотой h. По-видимому, при соеденении сосудов нельзя забывать про переходный (колебательный) процесс. Все заряды сперва полностью перетикают в одну ёмкость, затем возвращаются в первую. Инерция - та физическая сущность, что доставляет потенциал из одного места в другое. Процесс останавливается из-за резистивных потерь на трение. Мой интерес узнать сколько энергии теряется за один полупериод колебаний. Ирает ли роль отношение паразитных сопротивления и индуктивности на КПД, в смысле нужно ли ставить дополнительную катушку, для повышения КПД?

 

Чуть по-позжее, в уравнения нужно будет добавить резистор.

[Andrew10 0]

Привет!

 

Из (4) следует закон сохранения заряда:

 

C1 U1 + C2 U2 = Q0 ( начальный заряд на первом кондерсаторе). Отсюда можно исключить, например, U2 и тогда получится уравнение осциллятора с частотой 1/sqrt(C L), где C = C1 C2/(C1+C2) - емкость последовательно соединенных конденсаторов. Только в правой части будет постоянная величина, пропорциональная начальному заряду, а не нуль. От нее можно избавиться, переходя к новой переменной, отличающейся от U1 на константу.

 

По поводу парадокса - это известный фокус, связанный с тем, что заряды равны и постоянны (в предположении С1 = С2), если установилось состояние равновесия, для чего нужно учитывать сопротивление. Если сопротивления нет, то в момент, когда Q1 = Q2 обязательно есть также ток через индуктивность, так что энергия в этом случае сохраняется. Но, впрочем, судя по Вашему письму, это Вы и сами понимаете.

[javalenok 0]

С зарядом - клёво, только он из логики вещей следует. Каким образом вы с такой лёгкостью от вторых призводных избавились, формально?

 

Теперь, запираем напругу диодом на эквивалентном кондёре. Ток перетечёт в него за полупериод. Вычислим распределиление напряжения U меж двумя физическими кондёрами. Используя сохранение заряда и разделение напряжений между кондёрами получим систему:

 

(1)

CU = C1U1 + C2U2

U = U1 + U2

C = C1C2/(C1+C2)

 

 

Решение:

(C/C1-1)U = (C2/C-1)U2,

(C2/(C1+C2)-1)U = ((C2-C1)/C1)U2,

(-C1/(C1+C2))U = ((C2-C1)/C1)U2,

(C1/(C1+C2))U = ((C1-C2)/C1)U2,

 

U2 = C1^2/(C1^2-C2^2)U = 1/(1-C1^2/C2^2)U

 

Получается, что при равенстве ёмкостей, второй зарядится до бесконечности 1/(1-1) :cranky:

[Andrew10 0]

Добрый день!

 

1. Закон сохранения заряда следует из (2) и (3) Вашего первого письма. Складываете их и один раз интегрируете. Константа интегрирования определяется первоначальным зарядом.

 

2. Рассуждение с включенным диодом не очень понятны. Если нарисуете схему, куда он включен, может станет более понятным.

Изменено 17 марта, 2006 пользователем Andrew10

[javalenok 0]

Диод я поставил сразу за катушкой, переносящей заряды между кондёрами C1 и C2, чтобы ток будучи перетекшим из C1 в С через катушку не потёк назад. В механической модели маятник делает одно колебание слева вправо и мы его там заклиниваем. Схема прежняя: два кондёра, из которых один заряжен U1 соеденены одними своими концами. Другие концы разделюет последовательно включёные ключ (извините за тавтологию), катушка и диод. Замыкая ключ, ток пойдёт в одну сторону из заряженного кондёра во второй. Даже когда напряжение на нём упадёт меньше C2, катушка всё равно будет сосать из него заряды. Зарядив кондецаторы, ток спадёт и остановится. Какие напряжения получатся на кондёрах?

 

С последней моей системой 2-х заряженных кондёров что-то не в порядке. Было бы логично, что при равных ёмскостях (C1 = C2 = C12 = 2*C) напряжения поделятся по-ровну (U1 = U2 = U12 = U/2). Положив U1 = U/2, из (1.2) получаем U2 = U - U/2 = U/2, что логично. Далее, ряд приведений (1.1):

 

CU = C12U/2 + C12U/2,

C = С12/2 + С12/2 = С12.

 

Тогда как два равных последовательных кондёра ёмкостью С12 должны давать эквивалентную ёмкость C = С12/2. Система (1) явно не совместна. В каком месте, не подскажете?

[Andrew10 0]

Ну тогда поехали по полной. См. прикрепленный файл.

1.pdf

[javalenok 0]

Перечитал 2-й том Фейнмановских лекций, чтобы вспомнить как подобные дифуры щёлкаются. Интересно пишет. Главное организация поражает. С вращательного движения переходят на осциллятор, затем пересказывается теория чисел с алгеброй и вводятся натуральный логарифм и комплекные чисела. В следующей главе осциллятор добивают резонансом и переходят к переходным решениям.

 

Глава переходные решения (нас ведь именно такое интересует, а не установившееся) начинается с абзаца об энергии осциллятора. Её итогом является величина Q - отношение накопленной энергии к работе за цикл. При W близкой W0 это отношение равняется добротности контура Q = W0/y = LW/R. Кажется моё предположение о том, что в схеме удвоителя напряжения без индуктивности доля энергии переданной из кондёра в кондёр, т.е. КПД удвоителя, определяется отношением паразитных L/R, оказывается верным.

 

Прикиньте, провидение у людей. Сначала учат как составлять уравнения и их решать. Потом всё решают за нас. Я в трансе.

[javalenok 0]

И ещё говорит, что решать линейные уравнения в случае синусоидальнх сил - "десткая забава". Точно наш случай.

[javalenok 0]

Ну тогда поехали по полной. См. прикрепленный файл.

 

 

Что-то прочтение Фейнмна как-то не помогает решать уравнения вида x''+w^2x = const. Когда сила в правой стороне уравнения представлена косинусом или константа 0, то - нет проблем, но когда там константа не равная нулю - проблема. В принципе, нуль можно рассматривать как гармоническое колебание нулевой амплитуды, а любую постоянную как колебание нулевой частоты. Или даже разложить постоянную в ряд фурье на гармонические колебания, решить и сложить решения по принцыпу суперпозиции откликов линейной системы. Вот вы как поступили?

 

В связи с этим, хочется узнать, как вы решили уравнение u1''+w^2u1 = u01/c2L? Должно быть какое-то известное общее решение. Верно? Как составили - догадался. Из закона сохранения заряда u2 = c1/c2*u1+q0/c2. Подставляем полученное выражение для u2(u1) в i' = (u1-u2)/L = u1/L*(1-c1/c2)-q0/c2L. После чего деффиринцируем u1' = -i/c1, получая u1'' = -1/c1*i' и подставляем наше выражение для тока i(u1): u1'' = -1/c1L *(1-c1/c2)u1 + q0/c1c2L. Частота маятника в механике w=sqrt(k/m), в электричестве аналогом массы является L, а 1/С - аналогом жёсткости пружины, поэтому обозначв (1-c1/c2)/c1 через k и получим u1'' + k/L u1 = u10/c2L, где u10 - начальное напряжение первого конденцатора. Осталось его решить.

 

Я пощёл по такому пути - продиффиринцировал ещё разок. Получилось u1'''+ k/L u1' = 0, то есть константа справа исчезла. Такие штуки мы решать умеем, просто пишем u1 = A cos(wt) или Aexp(iwt) для понта:

u1' = -w A sinwt;

u1'' = -w^2 A coswt;

u1''' = w^3 A sinwt;

 

w^3 A sinwt - k/L w A sinwt = 0 | : A w sinwt

w^2 - k/L = 0, откуда частота колебаний w = sqrt(k/L), как и положено.

 

Но не всё ладно в датском королевстве. Подстановка в исходное диффуро -w^2 A coswt + w^2 A coswt = 0 = u10/c2L, что не верно. Видать, в некоторых случаях нельзя дифференцировать обе части уравнения, во избавлении от нежелательных членов.

 

 

 

Поначалу, я пробавал решить относительно тока. Дифференцируя i' = u1/L*(1-c1/c2) - q0/Lc2 получим i'' = u1'/L*(1-c1/c2) = [u1' = -i/c1] = -i/Lc1*(1-c1/c2). Обозначая по традиции (1-c1/c2)/c1 = k, получаем тривиальное i'' + k/L i = 0. Очевидно, что уравнение совершенно ошибочно, поскольку решение в виде cosWt подразумевает начальнй ток в момент t=0. Вышеприведённый вариант с напряжением пропорциональным косинусу более правдоподобен. Такое чувство что любую линейную систему можно не нарушая правил математики свести к уравнению x'' = - k/L x, хотя это не гарантирует правильного решения. По-видимому уравнения нельзя дифференцировать когда есть независимые члены (от времени).

 

Чего-то фейнман недоговорил. Или я недоглядел. Неужели физику на это дело надо ещё доплнительный спецкурс математики проходить?

[__Alex 0]

Закон сохранения энергии ещё никто не отменял .

Составь энерго-баланс системы и шлёпай уравнения .

В момент Т0 вся энергия сосредоточена в первом кондёре .

В момент времени Т1 имеется равенство напряжений у кондёров и сумма энергий : двух кондёров,индуктивности и энергия ушедшая на разогрев воздуха )).

В момент времени Т2 энергия кондёров + тепловая .

Т.к. индуктивность перекачивала заряды от первого кондёра ко второму , то энергия второго кондёра равна энергии к моменту Т1 + энергия индуктивности (теплом в первом приближении можно принебреч )

[javalenok 0]

Вы мне скажите для начала, в каких случаях диффуро разрешено дифферинцировать и как Андрейка решение получил.

Изменено 30 марта, 2006 пользователем javalenok

[Andrew10 0]

В момент времени Т2 энергия кондёров + тепловая .

Т.к. индуктивность перекачивала заряды от первого кондёра ко второму , то энергия второго кондёра равна энергии к моменту Т1 + энергия индуктивности (теплом в первом приближении можно принебреч )

 

Насколько я понимаю, интересует именно влияние сопротивления, поэтому теплом пренебрегать нежелательно.

 

Для того, чтобы научиться решать дифуры подобного типа, рекомендую книжку

Федорюк. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

 

Это, насколько я помню, физтеховский учебник.

 

Решение уравнения осциллятора с затуханием и произвольной правой частью может быть выписано в явном виде, благодаря линейности уравнения.

Если уравнение осциллятора имеет вид

,

то его решение, удовлетворяющее условиям x=x0 и dx/dt = v0 при t=0 имеет вид

 

Здесь

Бери произвольную силу F(t), интегрируй и все.

 

Для того, чтобы научиться оперировать с такими уравнениями, могу порекомендовать сравнительно новую книгу на русском языке:

Д.И.Трубецков, А.Г.Рожнев. Линейные колебания и волны.

Про осциллятор под внешним воздействием читай главы 5 и 6.

 

В сети в электронном виде ее нет, поэтому выкладываю файл на webfile.ru. Это рукопись, как она была представлена в редакцию, а не сканы. Ко мне попала от авторов.

Провайдер ограничивает размер отсылаемых файлов, поэтому все разбито на два по 2 Мгб.

 

_http://webfile.ru/885494 файл будет доступен минимум до 06.04.2006 14:55.

_http://webfile.ru/885565 файл будет доступен минимум до 06.04.2006 15:29

 

Пароль на архив: electronix.ru

[javalenok 0]

Спасибо огромное, вы в полной мере удовлетварили мой интерес. Только анализ формулы озадачил маленько. На первый взгляд, всё вроде понятно, смысл всех закорючек ясен. Однако выходит, что если сила потоянная, то второй член суммы, который с интегралом, равен нулю. Значит получается, что значения не имеет и его можно принять нулевым? Когда нет трения остаётся:

 

x(t) = x0 cos(wt) + v0/w * sin(wt),

w = w0.

 

Коль скоро ток наш начальный равен нулю, то и синус тоже отпадает. Однако решение u1(t) = u10 cos(w0t) не соответствует приведённому в ПДФ файле. Дополнительное замешательство вызвано реактивным синусом v0/w * sin(wt), который бы вклинился в гармоническое колебание, придай мы нашей катушке начальный ток..

Изменено 30 марта, 2006 пользователем javalenok

[javalenok 0]

Оба файла в одно папке лежат:

 

------------------------

! Desktop\oscwave\oscwave.part1.rar: CRC failed in the encrypted file oscwave.pdf (wrong password ?)

! Desktop\oscwave\oscwave.part1.rar: Unexpected end of archive

! CRC failed in the encrypted file oscwave.pdf (wrong password ?)

------------------------

[Andrew10 0]

Оба файла в одно папке лежат:

------------------------

! Desktop\oscwave\oscwave.part1.rar: CRC failed in the encrypted file oscwave.pdf (wrong password ?)

! Desktop\oscwave\oscwave.part1.rar: Unexpected end of archive

! CRC failed in the encrypted file oscwave.pdf (wrong password ?)

------------------------

 

1. Не понял этого сообщения. Ты хотел сказать, что файлы повреждены?

Сейчас для проверки скачал назад с webfile.ru и все распаковалось с указанным паролем и pdf-файл открылся. Так что с архивом все в порядке.

Распаковывал WinRar-ом, версия 3.20 beta 4.

На всякий случай, версия pdf 1.6 (Acrobat 7.0)

 

 

2. Если F(t) =F0 константа, то интеграл вовсе не равен нулю. Вычислять нужно аккуратнее. Интеграл равен сумме двух слагаемых, одно из которых константа, и равна F0/(w0)^2 - это новое положение равновесия из-за присутствия постоянной силы. Другое слагаемое затухает со временем по экспоненте с показателем (-gamma t). Эта функция по структуре точно такая же, как первая сумма в полном решении из моего предыдущего письма. Объдинив их, получим ччасть решения, описывающего постепенное затухание колебаний вокруг нового положения равновесия.